สรุปเนื้อหา ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.2

ประวัติของพีทาโกรัส (Pythagoras)

พีทาโกรัสเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความยาวของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีกล่าวไว้ว่า “ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกําลังสอง เท่ากับ ผลบวกของกําลังสองของด้านประกอบมุมฉาก” ซึ่งทฤษฎีนี้มีมาตั้งแต่ 700 ปีก่อนคริสต์ศักราช แต่เพิ่งมีการนํามาพิสูจน์อ้างอิงและรวบรวมในยุคนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagoras)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวม

ของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

จากทฤษฎีบทจะได้  

c^2=a^2+b^2

เมื่อ a, b เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับรูปสามเหลี่ยม 

1 ถ้า c^2=a^2+b^2 แล้ว รูปสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

2.ถ้า c^2<a^2+b^2 แล้ว รูปสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

3.ถ้า c^2>a^2+b^2 แล้ว รูปสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

อัตราส่วนสามเหลี่ยมมุมฉากที่ควรรู้

กําหนด a, b เป็นด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

จะได้ว่า a : b : c ที่ควรรู้ได้แก่ 3 : 4 : 5,, 5 : 12 : 13, 7 : 24 : 25, 1:1: \sqrt{2}