สรุปเนื้อหา พหุนามและการแยกตัวประกอบ ม.2

การแยกตัวประกอบพหุนาม (Polynomial factorization) คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป หรือเขียนพหุนามในรูปที่ง่ายกว่า

แบ่งออกเป็น 7 ทักษะดังนี้

ทักษะที่ 1 การจัดกลุ่ม และการดึงตัวร่วม

หลักการ หาตัวประกอบร่วมของทุกพจน์ แล้วดึงออกมาเขียนในรูปผลคูณ 

เช่น $a+ab+da^2 = a(1+b+da)$ 

ทักษะที่ 2 การจับคู่ดึงตัวร่วม
หลักการ จับคู่พจน์ของพหุนาม แล้วดึงชั้นแรกก่อน จึงสามารถดึงต่อได้ในขั้นถัดไป (ดึงหลายชั้น)
เช่น  $ab-ad+cb-cd = a(b-d)+c(b-d)$
                                $= (a-c)(b-d)$

หรือ  $ab-ad+cb-cd = b(a-c)-d(a-c)$
                                $= (b-d)(a-c)$

ทักษะที่ 3 แยกสองวงเล็บ เมื่อพหุนามอยู่ในรูป  $Ax^2+Bx+C$
หลักการ เป็นการย้อนทางกลับ ผลคูณของพหุนามดีกรี 1 สองวงเล็บ
เช่น เรารู้ว่า  $(x+3)(x+2) = x^2 +3x +2x +6 = x^2+5x+6$
ถ้าแยกตัวประกอบของ $x^2+5x+6$ จะได้ $(x+3)(x+2)$

การแยกสองวงเล็บ ไม่จำเป็นต้องให้ดีกรีสูงสุดเป็น 2 เสมอไป แค่ให้เลขชี้กำลังของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเป็นสองเท่าของพจน์ที่มีดีกรีรองลงมา

แบบที่ 1 : สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เป็น 1
หลักการ พิจารณาตัวประกอบของพจน์ที่เป็นค่าคงที่
เลือกตัวประกอบคู่ที่บวกกันแล้วได้สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ xมีดีกรี 1 (พจน์กลาง)

เช่น $x^2-5x+6$
แยกตัวประกอบของ 6 คือ (2)(3), (6)(1), (-2)(-3), (-6)(-1)
สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง คือ -5 ซึ่งมีค่าเท่ากับ $(-2)+(-3) = -5$
ดังนั้น $x^2-5x+6 =(x-2)(x-3)$

แบบที่ 2 : สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ (พจน์ที่มีดีกรีสูงสุด) ไม่ใช่ 1
หลักการ ต้องพิจารณาตัวประกอบของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดด้วย
พจน์กลาง = (ใกล้)(ใกล้)+(ไกล)(ไกล)

เช่น $3A^2+5A-2$
แยกตัวประกอบของ -2 คือ (-2)(1) หรือ (2)(-1)
แยกตัวประกอบของ  $3A^2$ คือ  $(3A)(A)$ หรือ  $(-3A)-(A)$
ใช้  $(3A)(A)$ กับ (2)(-1)
จะได้  $(3A+2)(A-1)$ 

ทักษะที่ 4 กำลังสองสมบูรณ์
หลักการ วิธีทำแบบเดียวกับแยก 2 วงเล็บ คือเมื่อแยก 2 วงเล็บแล้ว ได้ทั้งสองวงเล็บเหมือนกัน
$(A\pm B)^2 = A^2\pm 2AB+B^2$

ทักษะที่ 5 ผลต่างกำลังสอง
หลักการ  $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$

ทักษะที่ 6 ใช้กำลังสองสมบูรณ์ร่วมกับผลต่างกำลังสองช่วยในการจัดรูป
แบบที่ 1 เพิ่มลดพจน์ท้าย

ตัวอย่างที่ 1 $x^2+6x+3$
สังเกตที่พจน์กลาง $\frac{6x}{2}=3$ แสดงว่าพจน์ท้ายเป็น $3^2 = 9$
จะจัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้เมื่อ $x^2+6x+9 = (x+3)^2$

จาก $x^2+6x+3 = x^2+6x+3+9-9$
                        $=(x+3)^2+3-9$
                      $=(x+3)^2-(\sqrt{6})^2$
                      $=(x+3+\sqrt{6})(x+3-\sqrt{6})$

ตัวอย่างที่ 2 $2x^2+5x-4$
จะยังไม่สังเกตพจน์กลางทันที แต่ทำให้สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เป็น 1 ก่อน โดยการดึงตัวร่วมจะได้
$2x^2+5x-4 =2(x^2+\frac{5x}{2}-2)$
                  $=2(x^2+\frac{5x}{2}+\frac{25}{16}-\frac{25}{16}-2)$
                  $=2[(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}-2]$
                  $=2[(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}-\frac{32}{16}]$
                  $=2[(x+\frac{5}{4})^2-\frac{57}{16}]$
                  $=2(x+\frac{5}{4}-(\sqrt{\frac{57}{16}}))(x+\frac{5}{4}+(\sqrt{\frac{57}{16}}))$

แบบที่ 2 เพิ่มลดพจน์กลาง
ตัวอย่าง $x^2+4$
จะได้ $x^2+4  = x^2+4+4x-4x$
                    $= (x+2)^2-4x$
                    $= (x+2)^2-(\sqrt{4x})^2$
          $= (x+2-\sqrt{4x})(x+2+\sqrt{4x})$

ทักษะที่ 7 ผลบวก และผลต่างกำลังสาม
หลักการ $(A+B)^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$
    $(A-B)^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$