สรุปเนื้อหา เมทริกซ์ ม.5

1. การแก้สมการโดยใช้อินเวอร์สการคูณ

กำหนดระบบสมการ

\begin{aligned}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z &= b_1 \\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z &= b_2 \\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z &= b_3\end{aligned}

จากการที่เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูป 

AX = B

ดังนั้นการหาค่า X สามารถทำได้โดยนำค่า A^{-1} มาคูณทั้งสองข้างของสมการจะได้

X=A^{-1}B

เราจึงได้ค่าของ X ตามต้องการ

จากการที่เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูป 

AX = B

ดังนั้นการหาค่า X สามารถทำได้โดยนำค่า A^{-1} มาคูณทั้งสองข้างของสมการจะได้X=A^{-1}B

เราจึงได้ค่าของ X ตามต้องการ

2. การแก้สมการเชิงเส้นด้วยกฎคราเมอร์

กำหนดระบบสมการ

\begin{aligned}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z &= b_1 \\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z &= b_2 \\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z &= b_3\end{aligned}

จากกฎคราเมอร์จะได้ว่า

x=\dfrac{\left|\begin{array}{lll}b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|},

y=\dfrac{\left|\begin{array}{lll}a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|}

และ

z=\dfrac{\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & b_2 \\</span></p><p><span style="font-weight: 400;">a_{31} & a_{32} & b_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\</span></p><p><span style="font-weight: 400;">a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|}

3. การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้การดำเนินการตามแถว (Row Operation)

ให้ A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ m \times n เราจะเรียกกระบวนการต่อไปนี้ว่าเป็นการดำเนินการตามแถว (row operation) 

1. สลับแถวที่ i กับแถวที่ j : เขียนแทนด้วย R_{ij}
2. นำค่าคงที่ k \neq 0 ไปคูณแถวที่ i : เขียนแทนด้วย k \cdot R_{i}
3. นำค่าคงที่ k \neq 0 ไปคูณแถวที่ j แล้วนำไปบวกกับแถวที่ i : เขียนแทน R_{i} + k\cdot R_{j}

AX = B

\Downarrow

\left[ A|B \right]  \sim \left[ I|X \right]