สรุปเนื้อ คณิต เวกเตอร์ และ ทฤษฎีกราฟ ม.5 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

เวกเตอร์

เมื่อพูดถึงเวกเตอร์ น้อง ๆ หลายคนอาจจะคุ้น ๆ กับคำนี้จากเนื้อหาในวิชาฟิสิกส์ใช่ไหมครับ แต่น้อง ๆ รู้มั้ยครับว่าเนื้อหาเรื่องเวกเตอร์นั้นเราจะได้เรียนในวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย กันด้วยนะ และพี่ก็ได้สรุปเนื้อหาเหล่านั้นมาให้พวกเราได้อ่านกันแล้วในบทความนี้ครับ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยยย

✨เวกเตอร์ คือ อะไร

เวกเตอร์ คือ ปริมาณชนิดหนึ่งที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เพราะว่ามีปริมาณบางอย่างบนโลกนี้ที่เราไม่สามารถอธิบายเค้าได้โดยบอกแค่ขนาดหรือทิศทางเพียงอย่างเดียว จำเป็นจะต้องบอกทั้งสองอย่างพร้อมกัน เช่น ถ้ามีนักท่องเที่ยวมาถามทางน้อง ๆ ว่าร้านสะดวกซื้อไปทางไหน แน่นอนว่าคำตอบที่เราจะตอบนักท่องเที่ยวไปนั้นจะต้องมีการบอกทั้งทิศทาง ว่าเดินไปทางไหน และบอกระยะทางแบบคร่าว ๆ ด้วยว่าประมาณกี่เมตร ใกล้หรือไกลเท่าไหร่ เป็นต้นครับ

ปริมาณที่เป็นปริมาณเวกเตอร์นั้นมีอยู่มากมายครับ น้อง ๆ บางคนอาจจะคุ้น ๆ มาจากวิชาฟิสิกส์ว่า “แรง” เป็นเวกเตอร์ ใช่แล้วครับ แรงทุกชนิดนั้นเป็นเวกเตอร์ เช่น แรงโนมถ่วงของโลก แรงเสียดทาน แรงตึงเชือก เป็นต้น แต่การบอกว่าเวกเตอร์คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางโดยการพูดลอย ๆ นั้นอาจจะเป็นนามธรรมเกินไปซักหน่อย เราเลยจะมีการเขียนเพื่อแสดงถึงปริมาณเวกเตอร์ครับ เวลาคุยกันถึงเวกเตอร์จะได้เข้าใจได้ทันทีเลยว่าการเขียนแบบนี้คือเรากำลังพูดถึงเวกเตอร์นั่นเอง โดยการเขียนนั้นเราจะเขียนส่วนของเส้นตรงขึ้นมาเส้นนึง แล้วตามด้วยหัวลูกศร โดยด้านที่ไม่มีหัวลูกศร เราจะให้มันเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และด้านที่มีหัวลูกศร เราจะให้มันเป็นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ครับ ตามรูปต่อไปนี้เลย

โดยการเขียนเวกเตอร์เราสามารถเขียนได้สองแบบครับ แบบแรกคือเขียนทั้งจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นั้นแล้วตามด้วยการเขียนลูกศรบนหัวด้วย เช่น \vec{AB} แบบที่สองคือการตั้งชื่อขึ้นมาใหม่เป็นตัวอักษรตัวเดียวไปเลยก็ทำได้เช่นกันครับ เช่น \vec{u}

✨ลักษณะของเวกเตอร์

หากเรามีเวกเตอร์อยู่สองเวกเตอร์คือ \vec{u}, \vec{v} ลักษณะสำคัญ ๆ ที่อาจจะเกิดขึ้นได้กับเวกเตอร์ทั้งสองนี้ก็จะมีดังนี้ครับ

✨เวกเตอร์เท่ากัน

เราจะกล่าวว่า \vec{u} เท่ากับ \vec{v} ก็ต่อเมื่อ \vec{u} และ \vec{v} มีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกันดังรูปครับ

✨เวกเตอร์ขนานกัน

เราจะกล่าวว่า \vec{u} ขนานกับ \vec{v} ก็ต่อเมื่อ \vec{u} และ \vec{v} มีทิศเดียวกันหรือขนานกันดังรูปครับ

✨นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของ \vec{u} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ \vec{u} แต่มีทิศตรงข้ามกับ \vec{u} และเราจะใช้ -\vec{u} เพื่อแทนนิเสธของ \vec{u} ครับ

✨การบวกเวกเตอร์

ทำได้โดยการนำหัวของเวกเตอร์นึงไปต่อที่หางของอีกเวกเตอร์นึง แล้วเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์ใหม่ที่ลากจากหางของเวกเตอร์แรกไปถึงหัวของเวกเตอร์ที่สอง ดังนี้ครับ

✨การลบเวกเตอร์

สามารถทำได้เหมือนกับการบวกเวกเตอร์ แต่คราวนี้แทนที่เราจะนำเวกเตอร์สองเวกเตอร์มาบวกกันตรง ๆ เราจะบวกด้วยนิเสธของเวกเตอร์ที่นำมาบวกแทนครับ หรือพูดง่าย ๆ ก็คือ ถ้าเราจะหา \vec{u} – \vec{v} เราจะทำได้โดยการมองมันเป็น \vec{u} + (-\vec{v}) นั่นเองครับ

✨เวกเตอร์ศูนย์

คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์ และเราจะเขียนแทนด้วย \vec{0}

✨สมบัติการบวกของเวกเตอร์

ให้ \vec{u}, \vec{v} และ \vec{w} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ จะได้ว่า

  1. \vec{u} + \vec{v} จะเป็นเวกเตอร์เสมอ นั่นคือเวกเตอร์มีสมบัติปิดการบวก
  2. \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} นั่นคือเวกเตอร์มีสมบัติสลับที่การบวก
  3. \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} นั่นคือเวกเตอร์มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก
  4. \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} = \vec{0} + \vec{u} นั่นคือเวกเตอร์มีเอกลักษณ์การบวก
  5. \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} = (-\vec{u}) + \vec{u} นั่นคือเวกเตอร์มีอินเวอร์สการบวก
✨การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ k เป็นจำนวนจริง

ถ้า k > 0 จะได้ว่า k\vec{u} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น k เท่าของเวกเตอร์ \vec{u} และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์ \vec{u}

ถ้า k < 0 จะได้ว่า k\vec{u} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น k เท่าของเวกเตอร์ \vec{u} แต่มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ \vec{u} เช่น

จากรูปน้อง ๆ จะเห็นได้ว่า

2\vec{u} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 2 เท่าของเวกเตอร์ \vec{u} และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์ \vec{u}

-2\vec{u} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 2 เท่าของเวกเตอร์ \vec{u} แต่มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ \vec{u}

✨สมบัติการคูณของเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ \vec{u}, \vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ และ a, b เป็นจำนวนจริง

  1. a\vec{u} เป็นเวกเตอร์
  2. (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}
  3. a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}
  4. (ab)\vec{u} = a(b\vec{u}) = b(a\vec{u})
  5. 0\vec{u} = \vec{0}

ถ้า a\vec{u} = \vec{0} จะได้ว่า a = 0 หรือ \vec{u} = \vec{0}

✨เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

หลังจากที่เราได้รู้จักเวกเตอร์ สมบัติของเวกเตอร์ และการเขียนเวกเตอร์โดยการใช้ส่วนของเส้นตรงไปแล้ว ต่อไปพี่จะนำเสนออีกวิธีหนึ่งในการเขียนเวกเตอร์ให้น้อง ๆ ดูกันครับ โดยจะเป็นการเขียนเพื่อให้นำไปใช้งานได้สะดวก รวดเร็ว เข้าใจง่าย และบ่งบอกถึงข้อมูลของเวกเตอร์นั้น ๆ ได้ค่อนข้างละเอียด ซึ่งการเขียนเวกเตอร์ดังกล่าวมีอยู่สองแบบให้เราเลือกใช้ดังนี้ครับ

  1. การเขียนเวกเตอร์ในรูปคอลัมน์เมทริกซ์

จะเป็นการเขียนเวกเตอร์ในรูปของเมทริกซ์ที่มีเพียงหลักเดียว โดยอาจจะมี 2 หรือ 3 แถวก็ได้ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ว่าเวกเตอร์นั้นเป็นเวกเตอร์ 2 หรือ 3 มิติครับ

  1. การเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์ \vec{i}, \vec{j}, \vek{k}

เวกเตอร์ \vec{i}, \vec{j}, \vek{k} คือเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและมีทิศทางตามแนวแกน X, Y, Z ตามลำดับ

พี่จะขอใช้ตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อแสดงการเขียนให้น้อง ๆ ดูนะครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเวกเตอร์ \vec{u} ในรูปคอลัมน์เมทริกซ์ และในรูปของเวกเตอร์ \vec{i}, \vec{j}, \vek{k}

การเขียนในรูปคอลัมน์เมทริกซ์ : \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}

การเขียนในรูปของเวกเตอร์ \vec{i}, \vec{j}, \vek{k} : 8\vec{i} + 10\vec{j} + 6\vec{k}

✨ขนาดของเวกเตอร์

ถ้า \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} เราจะได้ว่า

  1. ขนาดของ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}
  2. ขนาดของ \vec{v} = |\vec{v}| = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาขนาดของเวกเตอร์ \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}

วิธีทำ

ขนาดของ \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix} = \sqrt{8^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 100 + 36} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} หน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์ 1 หน่วย ทิศเดียวกับ \vec{u} คือ \dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

เวกเตอร์ 1 หน่วย ทิศตรงข้ามกับ \vec{u} คือ -\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

เวกเตอร์ 1 หน่วย ขนานกับ \vec{u} คือ \pm\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

เวกเตอร์ k หน่วย ทิศเดียวกับ \vec{u} คือ k\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

เวกเตอร์ k หน่วย ทิศตรงข้ามกับ \vec{u} คือ -k\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

เวกเตอร์ k หน่วย ขนานกับ \vec{u} คือ \pm k\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

✨ผลคูณเชิงสเกลาร์

กำหนดให้ a, b, c, d, e, f เป็นจำนวนจริง และ \vec{u}, \vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ซึ่ง \vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k} และ \vec{v} = d\vec{i} + e\vec{j} + f\vec{k} เราจะเรียก \vec{u} \cdot \vec{v} ว่าเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ระหว่าง \vec{u} กับ \vec{v} และ \vec{u} \cdot \vec{v} = ad + be + cf

✨สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

  1. ให้ \vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0} เราจะได้ว่า \vec{u} จะตั้งฉากกับ \vec{v} ก็ต่อเมื่อ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
  2. \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  3. \vec{u} \cdot (\vec{v} \pm \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} \pm \vec{u} \cdot \vec{w}
  4. m(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (m\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (m\vec{v})
  5. \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2
  6. |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2
  7. |\vec{u} – \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 – 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2
  8. (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = |\vec{u}|^2 – |\vec{v}|^2
  9. \vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1
  10. \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0

✨ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \vec{u} = -\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}, \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{k} จงหา \vec{u} \cdot \vec{v}

วิธีทำ

\begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} &= (-\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) \cdot (3\vec{i} + 4\vec{k}) \\ &= (-1)(3) + (2)(0) + (1)(4) \\ &= -3 + 0 + 4 \\ &= 1 \end{aligned}

ดังนั้น \vec{u} \cdot \vec{v} = 1

✨ผลคูณเชิงเวกเตอร์

ให้ \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} เราจะได้ว่า

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}\vec{i} – \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}\vec{k} และทิศของ \vec{u} \times \vec{v} จะเป็นไปตามรูปต่อไปนี้ครับ

✨สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เราจะได้ว่า

  1. \vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})
  2. (\vec{u} \pm \vec{v}) \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{w} \pm \vec{v} \times \vec{w}
  3. \vec{w} \times (\vec{u} \pm \vec{v})= \vec{w} \times \vec{u} \pm \vec{w} \times \vec{v}
  4. \vec{u} \times (k \vec{v}) = (k \vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v})
  5. \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}, \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}, \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}
  6. \vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}

✨ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ \vec{u} = -\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}, \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{k} จงหา \vec{u} \times \vec{v}

วิธีทำ

\begin{aligned}\vec{u} \times \vec{v} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} \\&=  \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4\end{vmatrix}\vec{i} – \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\vec{j} +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}\vec{k} \\&=  8\vec{i} + 7\vec{j} – 6\vec{k} \\ \end{aligned}

ดังนั้น \vec{u} \times \vec{v} = 8\vec{i} + 7\vec{j} – 6\vec{k}

✨การหาพื้นที่และปริมาตร

ในหัวข้อนี้เราจะนำความรู้เรื่องเวกเตอร์มาใช้ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานกันครับ

การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กำหนดให้ \vec{u}, \vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เราจะได้ว่า

การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กำหนดให้ \vec{u}, \vec{v}, \vec{r} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เราจะได้ว่า

✨ตัวอย่างที่ 5 จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี \vec{u} = -\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}, \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{k} เป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยมนี้

วิธีทำ

ในขั้นตอนการหาพื้นที่นั้น เราจะต้องใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ด้วย ซึ่งก็คือ \vec{u} \times \vec{v} ซึ่งเราได้ทำการหาไว้แล้วในตัวอย่างที่ 4 ครับ ดังนั้น เราจะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ได้ดังนี้

|\vec{u} \times \vec{v}| = |8\vec{i} + 7\vec{j} – 6\vec{k}| = \sqrt{8^2 + 7^2 + 6^2} = \sqrt{64+ 49 + 36} = \sqrt{149} ตารางหน่วย

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้เท่ากับ \sqrt{149} ตารางหน่วย

เป็นยังไงกันบ้างครับ สำหรับเนื้อหาเวกเตอร์ที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจในครั้งแรกที่อ่าน แต่เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ น้อง ๆ สามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้

ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ 

บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
ขั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
วัน
ชั่วโมง
นาที
ชั่วโมง
นาที

พบกับข้อเสนอพิเศษสำหรับลูกค้าเก่า

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

วันนี้เท่านั้น! รับ ID Book ฟรีทันที

ที่สาขาออนดีมานด์

พี่ออนดี้ส่งโมเมนต์สุดพิเศษให้น้อง

ต้อนรับวันวาเลนไทน์

ดีลดี ดีลเดียวก่อนหมดวันแห่งความรัก สมัครเลย

วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลา
00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้ายแล้ว เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

เหลือเวลา

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

วันสุดท้ายแล้ว

เหลือเวลา

วัน
ชั่วโมง
นาที
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
วันสุดท้ายแล้ว
3 ชม สุดท้ายแล้วสมัครคอร์เลย
รับฟรี! ชุดแนวข้อสอบ TPAT3
ส่วนลดสูงสุด 1,000 บาท
ส่วนลดสูงสุด 500 บาท

นับถอยหลังก่อนสอบเข้าเตรียมอุดม (9 มี.ค. 67)

Days
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
โปรสุดท้าย NETSAT
เพื่อน้องมข. อีก 14 วันก่อนสอบ
โปรสุดท้าย เพื่อน้อง TU
อีก 1 เดือน ก่อนสอบ
ด่วน LIVEติว เลข โค้งสุดท้าย
ก่อนสอบเตรียมอุดมฯ