สวัสดีน้อง ๆ ทุกคนครับ! วันนี้พี่ ออนดีมานด์จะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับ เรขาคณิตวิเคราะห์และ ภาคตัดกรวย ซึ่งเป็นหัวข้อที่น่าสนใจและมีความสำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นการรวมกันระหว่าง เรขาคณิต และ พีชคณิต โดยเราจะใช้พิกัดและสมการมาอธิบายจุด เส้น และรูปร่างต่าง ๆ บนกราฟได้อย่างละเอียดนั่นเองครับ ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว ไปดูเนื้อหากันเลยยย
✨ความแตกต่างของ เรขาคณิต กับ เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย
ในตอน ม.ต้น น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยเรียนเรื่องเรขาคณิต ที่ว่าด้วยการสร้างเส้นตรง หรือการสร้างรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หรือวงกลม และอาจจะมีการใช้ทฤษฎีบทต่าง ๆ ของวงกลม สามเหลี่ยม หรือสี่เหลี่ยม มาช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์แต่ละข้อ เนื้อหาในลักษณะนี้เราจะเรียกว่า “เรขาคณิต” ครับ
สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยนั้น จะเป็นการศึกษาโดยเจาะจงไปที่สมการต่าง ๆ ที่นำมาสร้างเป็นรูปเรขาคณิตหรือเส้นตรง และจะให้ความสำคัญไปที่พิกัดของจุดสำคัญ ๆ ต่าง ๆ ของรูปหรือกราฟนั้น ๆ ครับ
โดยจุดที่แตกต่างกันระหว่างสองเรื่องนี้คือ เรขาคณิตนั้นจะไม่ได้สนใจที่สมการของรูปสักเท่าไหร่ แต่จะเน้นที่การนำรูปและทฎษฤีบทต่าง ๆ มาช่วยในการแก้ปัญหา แต่สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยนั้น เราจะใช้การวิเคราะห์กราฟ และการแก้สมการในการแก้โจทย์ปัญหาเป็นหลักนั่นเองครับ
✨เรขาคณิตวิเคราะห์
ในหัวข้อนี้เราจะเน้นศึกษาเกี่ยวกับจุดและเส้นตรงเป็นหลัก เราจะไปดูกันว่าถ้ามีจุดกับเส้นตรง เราจะสามารถทำอะไรกับเค้าได้บ้างครับ
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
หากเรามีจุดสองจุดคือ A(x_1, y_1) และ B(x_2, y_2) เราจะสามารถหาระยะทางระหว่างสองจุดนั้นได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ
เช่น A(1, 2) และ B(3, 4) เราจะสามารถหาระยะทาง AB ได้ดังนี้
AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
หมายความว่า ระยะทางระหว่างจุด A และ B คือ 2\sqrt{2} หน่วย นั่นเอง
✨จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
หากเรามีจุดสองจุดคือ A(x_1, y_1) และ B(x_2, y_2) เราจะสามารถหาจุด P ซึ่งเป็นจุดที่อยู่กึ่งกล่างระหว่างสองจุดนี้ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ
เช่น A(1, 2) และ B(3, 4) เราจะได้ว่า P(x, y) = P\left(\dfrac{1+3}{2}, \dfrac{2+4}{2}\right) = P(2, 3)
✨ระยะทางระหว่าง จุด กับ เส้นตรง
หากเรามีจุดหนึ่งจุดคือ (x_1, y_1) กับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งคือ Ax + By + C = 0 เราจะสามารถหาระยะทางระหว่างจุดกับเส้นตรงดังกล่าวได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ
เช่น จุด (1, 2) กับเส้นตรง x + y + 1 = 0 ระยะทางระหว่างจุดและเส้นตรงนี้คือ \dfrac{|(1)(1) + (1)(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} หน่วย
✨ระยะทางระหว่าง เส้นตรงกับ เส้นตรง
หากเรามีเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันคือ Ax + By + C_1 = 0 และ Ax + By + C_2 = 0 เราสามารถหาระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นนี้ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ
เช่น 3x + 4y – 7 = 0 กับ 3x + 4y + 5 = 0 มีระยะห่างเท่ากับ \dfrac{|-7-5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{12}{5} = 2.4 หน่วย
✨เส้นตรง
เราสามารถเขียนเส้นตรงในรูปของสมการได้ทั้งหมดสองแบบคือ y = mx + c โดยที่ m คือความชันของเส้นตรง และอีกรูปแบบคือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงตัวและ A, B ไม่เท่ากับ 0 พร้อมกัน
✨ความชัน
หากเราทราบพิกัดของจุดสองจุด เราจะสามารถหาความชันของเส้งตรงที่เชื่อมจุดสองจุดนั้นได้จากสูตร m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{y_1 – y_2}{x_1 – x_2} โดยน้อง ๆ สามารถใช้สูตรไหนก็ได้ครับ เพราะค่าที่ได้จะเท่ากันเสมอ
✨เส้นตรงที่ขนานและตั้งฉากกัน
ถ้าเรามีเส้นตรงสองเส้นคือ l_1 ซึ่งมีความชันคือ m_1 และ l_2 ซึ่งมีความชันคือ m_2 เราจะได้ว่า
- ถ้า l_1 กับ l_2 ขนานกัน จะได้ว่า m_1 = m_2
- ถ้า l_1 กับ l_2 ตั้งฉากกัน จะได้ว่า m_1 m_2 = -1
✨ตัวอย่างที่ 1 เส้นตรงที่ผ่านจุด (2, 0), (0, -2) และเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1, 1), (3, -3) ตั้งฉากกันหรือไม่
✨วิธีทำ
หาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, 0), (0, -2) ได้ดังนี้
\dfrac{-2-0}{0-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1
หาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1, 1), (3, -3) ได้ดังนี้
\dfrac{-3-1}{3-(-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1
หาผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสอง จะได้ 1 \times -1 = -1
พบว่าผลคูณของความชันมีค่าเท่ากับ -1 เราจึงสรุปได้ว่า ตั้งฉากกัน
✨ภาคตัดกรวย
หากเรามีกรวยอยู่อันหนึ่ง แล้วนำระนาบมาตัดกรวยนั้นในแนวต่าง ๆ กันดังรูป เราจะได้รอยตัดของระนาบกับกรวยนั้น จะเป็นกราฟ 4 ที่เราจะนำมาศึกษาในหัวข้อนี้คือ วงกลม (Circle) วงรี (Ellipse) พาราโบลา (Parabola) และ ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)
ต่อไปเราจะไปศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละตัวกันครับว่ามีรายละเอียดอะไรบ้าง
✨วงกลม
วงกลมโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางเท่ากัน โดยเราจะเรียกจุดคงที่นั้นว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม และเราจะเรียกระยะทางที่เท่ากันนั้นว่ารัศมีของวงกลม
✨ส่วนประกอบของวงกลม
สิ่งที่เราต้องทราบในวงกลมวงหนึ่งคือ จุดศูนย์กลาง C(h, k) และรัศมี r
✨สมการวงกลม
วงกลมมีสมการคือ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
✨ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 = 0
✨วิธีทำ
เนื่องจากสมการที่โจทย์กำหนดให้ยังไม่อยู่ในรูปของสมการวงกลมที่เราจะพิจารณา ดังนั้นเราจึงจัดรูปสมการดังนี้ครับ
\begin{aligned}x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 &= 0 \\(x^2 + 4x) + (y^2 – 6y) &= 12 \\(x^2 + 4x + 4) + (y^2 – 6y + 9) &= 12 + 4 + 9 \\(x+2)^2 + (y-3)^2 &= 25 \\(x+2)^2 + (y-3)^2 &= 5^2 \\\end{aligned}
จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ (-2, 3) และรัศมีคือ 5 หน่วย
✨วงรี
วงรีโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่สองจุดเป็นค่าคงที่เสมอ โดยเราจะเรียกจุดคงที่ทั้งสองนั้นว่าจุดโฟกัสของวงรี
✨ส่วนประกอบของวงรี
สิ่งที่เราต้องทราบในวงรีคือ จุดศูนย์กลาง C(h, k) แกนเอก คือแกนตามยาวของวงรี มีความยาว 2a และแกนโท คือแกนตามขวางของวงรี มีความยาว 2b
✨สมการวงรี
วงรีที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือวงรีนอน และวงรีตั้ง ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ
✨ข้อควรรู้เกี่ยวกับวงรี
- ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ และค่านั้นจะเท่ากับ 2a
- c^2 = a^2-b^2 เสมอ
- แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b เลตัสเรกตัมยาว \dfrac{2b^2}{a}
✨ตัวอย่างที่ 3 กำหนดสมการวงรี \dfrac{(x-6)^2}{36} + \dfrac{(y+4)^2}{16} = 1 จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวแกนเอกของวงรีนี้
✨วิธีทำ
ทำการจัดรูปสมการดังนี้
\begin{aligned}\dfrac{(x-6)^2}{36} + \dfrac{(y+4)^2}{16} &= 1 \\\dfrac{(x-6)^2}{6^2} + \dfrac{(y+4)^2}{4^2} &= 1 \\\end{aligned}
จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของวงรีคือ (6, -4) และความยาวแกนเอกคือ 2a = 2(6) = 12 หน่วย
✨พาราโบลา
พาราโบลาโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางเท่ากับระยะทางที่จุดนั้นห่างจากเส้นตรงเส้นหนึ่ง โดยเราจะเรียกจุดคงที่นั้นว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา และเราจะเรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่าเส้นไดเรกตริกซ์
✨ส่วนประกอบของพาราโบลา
สิ่งที่เราต้องทราบในพาราโบลาคือ จุดยอด V(h, k) จุดโฟกัส F เส้นไดเรกตริกซ์ l และระยะโฟกัส c
✨สมการพาราโบลา
พาราโบลาที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือพาราโบลาในแนวตั้ง และพาราโบลาในแนวนอน ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ
✨ตัวอย่างที่ 4 กำหนดสมการพาราโบลา y^2 – 2y + 8x – 15 = 0 จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลานี้
✨วิธีทำ
ทำการจัดรูปสมการดังนี้
\begin{aligned}y^2 – 2y + 8x – 15 &= 0 \\y^2 – 2y &= -8x + 15 \\y^2 – 2y + 1 &= -8x + 15 + 1 \\(y-1)^2 &= -8x + 16 \\(y-1)^2 &= -4(2)(x – 2)\end{aligned}
จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดยอดของพาราโบลาคือ (2, 1) และจุดโฟกัสคือ (2-2, 1) = (0, 1)
✨ไฮเพอร์โบลาโบลา
ไฮเพอร์โบลาโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่เสมอ โดยเราจะเรียกสองจุดนั้นว่าจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา
✨ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา
สิ่งที่เราต้องทราบในพาราโบลาคือ จุดศูนย์กลาง C(h, k) แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลา มีความยาว 2a และแกนสังยุค มีความยาว 2b
✨สมการไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลาที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือไฮเพอร์โบลาในแนวตั้ง และไฮเพอร์โบลาในแนวนอน ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ
✨ตัวอย่างที่ 4 กำหนดสมการพาราโบลา y^2 – 2y + 8x – 15 = 0 จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลานี้
✨วิธีทำ
ทำการจัดรูปสมการดังนี้
\begin{aligned}y^2 – 2y + 8x – 15 &= 0 \\y^2 – 2y &= -8x + 15 \\y^2 – 2y + 1 &= -8x + 15 + 1 \\(y-1)^2 &= -8x + 16 \\(y-1)^2 &= -4(2)(x – 2)\end{aligned}
จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดยอดของพาราโบลาคือ (2, 1) และจุดโฟกัสคือ (2-2, 1) = (0, 1)
✨ข้อควรรู้เกี่ยวกับไฮเพอร์โบลา
- ผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอร์โบลาไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่เสมอและเท่ากับ 2a
- c^2 = a^2+b^2 เสมอ
- แกนตามขวางยาว 2a แกนสังยุค 2b เลตัสเรกตัมยาว \dfrac{2b^2}{a}
✨ตัวอย่างที่ 5 กำหนดสมการไฮเพอร์โบลา 4y^2 – 9x^2 – 16y – 54x – 101 = 0 จงหาจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้
✨วิธีทำ
ทำการจัดรูปสมการดังนี้
\begin{aligned}4y^2 – 9x^2 – 16y – 54x – 101 &= 0 \\(4y^2 – 16y) – (9x^2 + 54x) &= 101 \\\dfrac{(y^2 – 4y)}{9} – \dfrac{(x^2 + 6x)}{4} &= \dfrac{101}{36} \\\dfrac{(y-2)^2}{9} – \dfrac{(x+3)^2}{4} &= \dfrac{101}{36} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{9}{4} \\\dfrac{(y-2)^2}{9} – \dfrac{(x+3)^2}{4} &= 1 \\\end{aligned}
จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาคือ (-3, 2)
เป็นยังไงบ้างครับน้อง ๆ สำหรับเนื้อหา เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ หวังว่าน้อง ๆ จะได้เข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมการและรูปต่าง ๆ มากขึ้น ไม่ว่าจะเป็นพาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา หรือแม้แต่วงกลม ทั้งหมดนี้จะช่วยทำให้เราเห็นความสัมพันธ์ที่ซ่อนอยู่ในรูปต่าง ๆ ครับ
อย่าลืมนะครับว่า การฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ จะช่วยให้น้องเข้าใจเนื้อหาได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น พี่หวังว่าบทเรียนนี้จะเป็นพื้นฐานที่ดีให้น้อง ๆ นำไปต่อยอดในเรื่องอื่น ๆ ได้นะครับ ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ
