สรุปเนื้อหา จำนวนเชิงซ้อน ม.5

 z คือจำนวนที่เขียนในรูป (a, b) หรือ a + bi โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริงและ i = \sqrt{-1}

• เราจะเรียก a ว่าส่วนจริง (Real part) ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \mathrm{Re}(z)

• เราจะเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (Imaginary part) ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \mathrm{Im}(z)

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z=a+bi ใด ๆ

1. ถ้า b = 0 แล้วเราจะเรียก z ว่าจำนวนจริง (real number)

2. ถ้า a = 0 และ b \neq 0 แล้วเราจะเรียก z ว่าจำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)

3. ถ้า b \neq 0 เราจะเรียก z ว่าจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริง (non-real complex number)

ตัวอย่างที่ 1

จงบอกส่วนจริง \mathrm{Re}(z) และส่วนจินตภาพ \mathrm{Im}(z) ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1.1  z = 2 + 3i

ส่วนจริง \mathrm{Re}(z) = 2 \quad ส่วนจินตภาพ \mathrm{Im}(z) = 3

1.2  z = 5i

ส่วนจริง \mathrm{Re}(z) = 0 \quad ส่วนจินตภาพ \mathrm{Im}(z) = 5

1.3  z = -6

ส่วนจริง \mathrm{Re}(z) = -6 \quad ส่วนจินตภาพ \mathrm{Im}(z) = 0

กำลังของ i

ถ้า i เป็นจำนวนจินตภาพแล้วค่ากำลังของ i นิยามดังนี้

\begin{aligned}i^1 &= i \\i^2 &= -1 \\i^3 &= -i \\i^4 &= 1\end{aligned}

ข้อสังเกต

• ทุก ๆ 4 ตัว บวกกันได้ 0 เช่น

i+i^2+i^3+i^4 = 0, i^5+i^6+i^7+i^8 = 0

• ทุก ๆ 4 ตัว คูณกันได้ -1 เช่น

i\cdot i^2\cdot i^3\cdot i^4 = -1, i^5\cdot i^6\cdot i^7\cdot i^8 = -1