October 27, 2024

สรุปเนื้อหา คณิต เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมสรุปเนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์ พร้อมวิธีทำ

กดดูรายละเอียดเนื้อหาย่อย

ความแตกต่างของ เรขาคณิต กับ เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย
เรขาคณิตวิเคราะห์
ระยะทางระหว่าง เส้นตรงกับ เส้นตรง
ภาคตัดกรวย
วงกลม
วงรี
พาราโบรา
ไฮเพอร์โบลาโบลา
คอร์สเรียนแนะนำ
แจกฟรีแผนการเรียน

สวัสดีน้อง ๆ ทุกคนครับ! วันนี้พี่ ออนดีมานด์จะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับ เรขาคณิตวิเคราะห์และ ภาคตัดกรวย ซึ่งเป็นหัวข้อที่น่าสนใจและมีความสำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นการรวมกันระหว่าง เรขาคณิต และ พีชคณิต โดยเราจะใช้พิกัดและสมการมาอธิบายจุด เส้น และรูปร่างต่าง ๆ บนกราฟได้อย่างละเอียดนั่นเองครับ ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว ไปดูเนื้อหากันเลยยย

✨ความแตกต่างของ เรขาคณิต กับ เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย

ในตอน ม.ต้น น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยเรียนเรื่องเรขาคณิต ที่ว่าด้วยการสร้างเส้นตรง หรือการสร้างรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หรือวงกลม และอาจจะมีการใช้ทฤษฎีบทต่าง ๆ ของวงกลม สามเหลี่ยม หรือสี่เหลี่ยม มาช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์แต่ละข้อ เนื้อหาในลักษณะนี้เราจะเรียกว่า “เรขาคณิต” ครับ

สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยนั้น จะเป็นการศึกษาโดยเจาะจงไปที่สมการต่าง ๆ ที่นำมาสร้างเป็นรูปเรขาคณิตหรือเส้นตรง และจะให้ความสำคัญไปที่พิกัดของจุดสำคัญ ๆ ต่าง ๆ ของรูปหรือกราฟนั้น ๆ ครับ

โดยจุดที่แตกต่างกันระหว่างสองเรื่องนี้คือ เรขาคณิตนั้นจะไม่ได้สนใจที่สมการของรูปสักเท่าไหร่ แต่จะเน้นที่การนำรูปและทฎษฤีบทต่าง ๆ มาช่วยในการแก้ปัญหา แต่สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยนั้น เราจะใช้การวิเคราะห์กราฟ และการแก้สมการในการแก้โจทย์ปัญหาเป็นหลักนั่นเองครับ

✨เรขาคณิตวิเคราะห์

ในหัวข้อนี้เราจะเน้นศึกษาเกี่ยวกับจุดและเส้นตรงเป็นหลัก เราจะไปดูกันว่าถ้ามีจุดกับเส้นตรง เราจะสามารถทำอะไรกับเค้าได้บ้างครับ

ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

หากเรามีจุดสองจุดคือ $A(x_1, y_1)$ และ $B(x_2, y_2)$ เราจะสามารถหาระยะทางระหว่างสองจุดนั้นได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ

เช่น $A(1, 2)$ และ $B(3, 4)$ เราจะสามารถหาระยะทาง $AB$ ได้ดังนี้

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

หมายความว่า ระยะทางระหว่างจุด $A$ และ $B$ คือ $2\sqrt{2}$ หน่วย นั่นเอง

✨จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง

หากเรามีจุดสองจุดคือ $A(x_1, y_1)$ และ $B(x_2, y_2)$ เราจะสามารถหาจุด $P$ ซึ่งเป็นจุดที่อยู่กึ่งกล่างระหว่างสองจุดนี้ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ

เช่น $A(1, 2)$ และ $B(3, 4)$ เราจะได้ว่า $P(x, y) = P\left(\dfrac{1+3}{2}, \dfrac{2+4}{2}\right) = P(2, 3)$

✨ระยะทางระหว่าง จุด กับ เส้นตรง

หากเรามีจุดหนึ่งจุดคือ $(x_1, y_1)$ กับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งคือ $Ax + By + C = 0$ เราจะสามารถหาระยะทางระหว่างจุดกับเส้นตรงดังกล่าวได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ

เช่น จุด $(1, 2)$ กับเส้นตรง $x + y + 1 = 0$ ระยะทางระหว่างจุดและเส้นตรงนี้คือ $\dfrac{|(1)(1) + (1)(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ หน่วย

✨ระยะทางระหว่าง เส้นตรงกับ เส้นตรง

หากเรามีเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันคือ $Ax + By + C_1 = 0$ และ $Ax + By + C_2 = 0$ เราสามารถหาระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นนี้ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ

เช่น $3x + 4y – 7 = 0$ กับ $3x + 4y + 5 = 0$ มีระยะห่างเท่ากับ $\dfrac{|-7-5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{12}{5} = 2.4$ หน่วย

✨เส้นตรง

เราสามารถเขียนเส้นตรงในรูปของสมการได้ทั้งหมดสองแบบคือ $y = mx + c$ โดยที่ $m$ คือความชันของเส้นตรง และอีกรูปแบบคือ $Ax + By + C = 0$ เมื่อ $A, B, C$ เป็นค่าคงตัวและ $A, B$ ไม่เท่ากับ $0$ พร้อมกัน

✨ความชัน

หากเราทราบพิกัดของจุดสองจุด เราจะสามารถหาความชันของเส้งตรงที่เชื่อมจุดสองจุดนั้นได้จากสูตร $m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{y_1 – y_2}{x_1 – x_2}$ โดยน้อง ๆ สามารถใช้สูตรไหนก็ได้ครับ เพราะค่าที่ได้จะเท่ากันเสมอ

✨เส้นตรงที่ขนานและตั้งฉากกัน

ถ้าเรามีเส้นตรงสองเส้นคือ $l_1$ ซึ่งมีความชันคือ $m_1$ และ $l_2$ ซึ่งมีความชันคือ $m_2$ เราจะได้ว่า

ถ้า $l_1$ กับ $l_2$ ขนานกัน จะได้ว่า $m_1 = m_2$
ถ้า $l_1$ กับ $l_2$ ตั้งฉากกัน จะได้ว่า $m_1 m_2 = -1$

✨ตัวอย่างที่ 1 เส้นตรงที่ผ่านจุด $(2, 0), (0, -2)$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-1, 1), (3, -3)$ ตั้งฉากกันหรือไม่

✨วิธีทำ

หาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(2, 0), (0, -2)$ ได้ดังนี้

$\dfrac{-2-0}{0-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1$

หาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-1, 1), (3, -3)$ ได้ดังนี้

$\dfrac{-3-1}{3-(-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1$

หาผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสอง จะได้ $1 \times -1 = -1$

พบว่าผลคูณของความชันมีค่าเท่ากับ $-1$ เราจึงสรุปได้ว่า ตั้งฉากกัน

✨ภาคตัดกรวย

หากเรามีกรวยอยู่อันหนึ่ง แล้วนำระนาบมาตัดกรวยนั้นในแนวต่าง ๆ กันดังรูป เราจะได้รอยตัดของระนาบกับกรวยนั้น จะเป็นกราฟ $4$ ที่เราจะนำมาศึกษาในหัวข้อนี้คือ วงกลม (Circle) วงรี (Ellipse) พาราโบลา (Parabola) และ ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ต่อไปเราจะไปศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละตัวกันครับว่ามีรายละเอียดอะไรบ้าง

✨วงกลม

วงกลมโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางเท่ากัน โดยเราจะเรียกจุดคงที่นั้นว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม และเราจะเรียกระยะทางที่เท่ากันนั้นว่ารัศมีของวงกลม

✨ส่วนประกอบของวงกลม

สิ่งที่เราต้องทราบในวงกลมวงหนึ่งคือ จุดศูนย์กลาง $C(h, k)$ และรัศมี $r$

✨สมการวงกลม

วงกลมมีสมการคือ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

✨ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 = 0$

✨วิธีทำ

เนื่องจากสมการที่โจทย์กำหนดให้ยังไม่อยู่ในรูปของสมการวงกลมที่เราจะพิจารณา ดังนั้นเราจึงจัดรูปสมการดังนี้ครับ

$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 &= 0 \\(x^2 + 4x) + (y^2 – 6y) &= 12 \\(x^2 + 4x + 4) + (y^2 – 6y + 9) &= 12 + 4 + 9 \\(x+2)^2 + (y-3)^2 &= 25 \\(x+2)^2 + (y-3)^2 &= 5^2 \\\end{aligned}$

จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(-2, 3)$ และรัศมีคือ $5$ หน่วย

✨วงรี

วงรีโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่สองจุดเป็นค่าคงที่เสมอ โดยเราจะเรียกจุดคงที่ทั้งสองนั้นว่าจุดโฟกัสของวงรี

✨ส่วนประกอบของวงรี

สิ่งที่เราต้องทราบในวงรีคือ จุดศูนย์กลาง $C(h, k)$ แกนเอก คือแกนตามยาวของวงรี มีความยาว $2a$ และแกนโท คือแกนตามขวางของวงรี มีความยาว $2b$

✨สมการวงรี

วงรีที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือวงรีนอน และวงรีตั้ง ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ

✨ข้อควรรู้เกี่ยวกับวงรี

ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ และค่านั้นจะเท่ากับ $2a$
$c^2 = a^2-b^2$ เสมอ
แกนเอกยาว $2a$ แกนโทยาว $2b$ เลตัสเรกตัมยาว $\dfrac{2b^2}{a}$

✨ตัวอย่างที่ 3 กำหนดสมการวงรี $\dfrac{(x-6)^2}{36} + \dfrac{(y+4)^2}{16} = 1$ จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวแกนเอกของวงรีนี้

✨วิธีทำ

ทำการจัดรูปสมการดังนี้

$\begin{aligned}\dfrac{(x-6)^2}{36} + \dfrac{(y+4)^2}{16} &= 1 \\\dfrac{(x-6)^2}{6^2} + \dfrac{(y+4)^2}{4^2} &= 1 \\\end{aligned}$

จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของวงรีคือ $(6, -4)$ และความยาวแกนเอกคือ $2a = 2(6) = 12$ หน่วย

✨พาราโบลา

พาราโบลาโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางเท่ากับระยะทางที่จุดนั้นห่างจากเส้นตรงเส้นหนึ่ง โดยเราจะเรียกจุดคงที่นั้นว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา และเราจะเรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่าเส้นไดเรกตริกซ์

✨ส่วนประกอบของพาราโบลา

สิ่งที่เราต้องทราบในพาราโบลาคือ จุดยอด $V(h, k)$ จุดโฟกัส $F$ เส้นไดเรกตริกซ์ $l$ และระยะโฟกัส $c$

✨สมการพาราโบลา

พาราโบลาที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือพาราโบลาในแนวตั้ง และพาราโบลาในแนวนอน ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ

✨ตัวอย่างที่ 4 กำหนดสมการพาราโบลา $y^2 – 2y + 8x – 15 = 0$ จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลานี้

✨วิธีทำ

ทำการจัดรูปสมการดังนี้

$\begin{aligned}y^2 – 2y + 8x – 15 &= 0 \\y^2 – 2y &= -8x + 15 \\y^2 – 2y + 1 &= -8x + 15 + 1 \\(y-1)^2 &= -8x + 16 \\(y-1)^2 &= -4(2)(x – 2)\end{aligned}$

จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดยอดของพาราโบลาคือ $(2, 1)$ และจุดโฟกัสคือ $(2-2, 1) = (0, 1)$

✨ไฮเพอร์โบลาโบลา

ไฮเพอร์โบลาโดยนิยามแล้วหมายถึงเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งมีผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่เสมอ โดยเราจะเรียกสองจุดนั้นว่าจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา

✨ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา

สิ่งที่เราต้องทราบในพาราโบลาคือ จุดศูนย์กลาง $C(h, k)$ แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลา มีความยาว $2a$ และแกนสังยุค มีความยาว $2b$

✨สมการไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลาที่เราจะสนใจจะมีทั้งหมด 2 แบบครับ คือไฮเพอร์โบลาในแนวตั้ง และไฮเพอร์โบลาในแนวนอน ซึ่งจะมีสมการดังต่อไปนี้ครับ

✨วิธีทำ

ทำการจัดรูปสมการดังนี้

$\begin{aligned}y^2 – 2y + 8x – 15 &= 0 \\y^2 – 2y &= -8x + 15 \\y^2 – 2y + 1 &= -8x + 15 + 1 \\(y-1)^2 &= -8x + 16 \\(y-1)^2 &= -4(2)(x – 2)\end{aligned}$

✨ข้อควรรู้เกี่ยวกับไฮเพอร์โบลา

ผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอร์โบลาไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่เสมอและเท่ากับ $2a$
$c^2 = a^2+b^2$ เสมอ
แกนตามขวางยาว $2a$ แกนสังยุค $2b$ เลตัสเรกตัมยาว $\dfrac{2b^2}{a}$

✨ตัวอย่างที่ 5 กำหนดสมการไฮเพอร์โบลา $4y^2 – 9x^2 – 16y – 54x – 101 = 0$ จงหาจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้

✨วิธีทำ

ทำการจัดรูปสมการดังนี้

$\begin{aligned}4y^2 – 9x^2 – 16y – 54x – 101 &= 0 \\(4y^2 – 16y) – (9x^2 + 54x) &= 101 \\\dfrac{(y^2 – 4y)}{9} – \dfrac{(x^2 + 6x)}{4} &= \dfrac{101}{36} \\\dfrac{(y-2)^2}{9} – \dfrac{(x+3)^2}{4} &= \dfrac{101}{36} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{9}{4} \\\dfrac{(y-2)^2}{9} – \dfrac{(x+3)^2}{4} &= 1 \\\end{aligned}$

จากสมการ เราจึงสรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาคือ $(-3, 2)$

เป็นยังไงบ้างครับน้อง ๆ สำหรับเนื้อหา เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ หวังว่าน้อง ๆ จะได้เข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมการและรูปต่าง ๆ มากขึ้น ไม่ว่าจะเป็นพาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา หรือแม้แต่วงกลม ทั้งหมดนี้จะช่วยทำให้เราเห็นความสัมพันธ์ที่ซ่อนอยู่ในรูปต่าง ๆ ครับ

อย่าลืมนะครับว่า การฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ จะช่วยให้น้องเข้าใจเนื้อหาได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น พี่หวังว่าบทเรียนนี้จะเป็นพื้นฐานที่ดีให้น้อง ๆ นำไปต่อยอดในเรื่องอื่น ๆ ได้นะครับ ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ

สรุปเนื้อหา คณิต เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมสรุปเนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์ พร้อมวิธีทำ

✨ความแตกต่างของ เรขาคณิต กับ เรขาคณิตวิเคราะห์ และ ภาคตัดกรวย

✨เรขาคณิตวิเคราะห์

✨จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง

✨ระยะทางระหว่าง จุด กับ เส้นตรง

✨ระยะทางระหว่าง เส้นตรงกับ เส้นตรง

✨ภาคตัดกรวย

✨วงกลม

✨วงรี

✨พาราโบลา

✨ไฮเพอร์โบลาโบลา

✨ข้อควรรู้เกี่ยวกับไฮเพอร์โบลา

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

หน้าหลัก

อื่นๆ

ได้รับการรับรองโดย

©️ 2021 ONDEMAND EDUCATION CO.,LTD. ALL RIGHTS RESERVED.

BY LEARN CORPORATION