กดดูรายละเอียดเนื้อหาย่อย
หลาย ๆ คน น่าจะเคยได้ยินเกี่ยวกับความน่าจะเป็นกันมาแล้ว ซึ่งจริงๆแล้วความน่าจะเป็น น้อง ๆ ได้เรียนกันมาตั้งแต่ม.ต้น ซึ่งจะเน้นไปที่พื้นฐานและการประยุกต์ใช้หลักการนับพื้นฐาน เช่น การคำนวณหาโอกาสจากเหตุการณ์ง่าย ๆ การทอยลูกเต๋า การสุ่มหยิบการ์ด แต่วันนี้พี่ออนจะพาน้องๆ มาทำความรู้จักความน่าจะเป็นสำหรับน้องม.ปลายกันจะมีอะไรบ้างมาดูกันเลย
✨หลักการนับเบื้องต้น
ก่อนที่เราจะหาความน่าจะเป็น พี่ๆขอพาน้องมารู้จักหลักการนับ กันก่อน เพราะการคำนวนความน่าจะเป็นจะมีหลักการที่ต่างกันออกไป ไม่สามารถทำแบบมั่วๆ ได้ หลักการนับจะช่วยทำให้หาจำนวนวิธีได้รวดเร็วขึ้น
- หลักการบวก ใช้เมื่อเราต้องการนับจำนวนความเป็นไปได้ของหลายเหตุการณ์ที่ไม่เกิดพร้อมกัน แยกงานที่เสร็จออกแล้วเป็น k กรณีย่อย และ n1, n2, n3, …, nk เป็นจำนวนวิธีของแต่ละกรณีที่เกิดขึ้น
จำนวนวิธีทำงาน = n_1 n_2 n_3 \dots, n_k วิธี
ตัวอย่าง มีตุ๊กตาหมี 3 สี สีละ 1 ตัว และมีตุ๊กตา 5 สี สีละ 1 ตัว หากต้องการหยิบตุ๊กตา 1 ตัวมาห้อยกระเป๋าไปโรงเรียนสามารถทำได้กี่วิธีกรณีที่ 1 ถ้าหยิบตุ๊กตาหมี จะทำได้ 3 วิธี เพราะมีตุ๊กตาหมีรวม 3 ตัว
กรณีที่ 2 ถ้าหยิบตุ๊กแมว จะทำได้ 5 วิธี เพราะมีตุ๊กตาแมวรวม 5 ตัวดังนั้น หากต้องการหยิบตุ๊กตา 1 ตัว จะสามารถทำได้ทั้งหมด 3+5=8 วิธี - หลักการคูณ (Multiplication Principle) ใช้เมื่อเราต้องการนับจำนวนความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หรืองานที่ต้องทำประกอบไปด้วย k ขั้นตอนย่อย
จำนวนวิธีการทำงาน = n_1 n_2 n_3 \dots, n_k วิธี
ตัวอย่าง ร้านขายไอศครีมแห่งหนึ่ง มีไอศครีมอยู่ 5 รสชาติ และท็อปปิ้ง อยู่ 10 อย่าง โดยในการขายไอศครีม 1 เซต จะใส่ไอศครีมได้ 1 รสชาติและท็อปปิ้ง 1 อย่าง จงหาว่าไอศครีม 1 เซตจะมีรูปแบบการขายได้ทั้งหมดกี่แบบเนื่องจากไอศครีม 1 เซต จะประกอบไปด้วย ไอศครีมที่มี 5 รสชาติ และ ท็อปปิ้ง ที่มีอยู่ 10 อย่าง
ดังนั้น จำนวนรูปแบบของไอศครีม 1 เซตจะเท่ากับ 510= 50 รูปแบบ
✨การเรียงสับเปลี่ยน
การเรียงสับเปลี่ยนใช้เมื่อต้องจัดเรียงสิ่งของในลำดับที่แตกต่างกัน โดยคำนวณจากจำนวนวิธีการเรียงสิ่งของที่ไม่ซ้ำกันเพื่อจัดลำดับ
✨การสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน
การสับเปลี่ยนทั้งหมดของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น
จำนวนวิธีในการเรียง n
ตัวอย่าง การเรียงลำดับของคน 3 คน ได้แก่ A, B, C คือ 3=3×2×1=6 วิธี
การสับเปลี่ยนบางส่วน
การสับเปลี่ยนบางส่วนของสิ่งของ n ชิ้น ที่เลือกมาเรียง r ชิ้น
{}^P_{n,r} = \frac{n!}{(n – r)!}
ตัวอย่าง การเรียงลำดับคน 3 คนจาก 5 คน จะได้ {}^P_{5,3} = \frac{5!}{(5 – 3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
✨การสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เหมือนกัน
สิ่งของที่เหมือนกันบางชิ้น การสับเปลี่ยนจะต้องหักล้างความซ้ำซ้อน
P = \frac{n}{k_1 \times k_2 \times \dots \times k_r}
ตัวอย่าง การสับเปลี่ยนคำว่า “DAD” จะได้ \frac{3}{2} = 6 \div 2 = 3
✨การสับเปลี่ยนแบบวงกลม
ใช้สำหรับการเรียงสิ่งของในลักษณะวงกลม
จำนวนวิธีในการเรียง = (n-1)
ตัวอย่าง การจัดลำดับคน 4 คนรอบโต๊ะกลม คือ (4−1) = 3 = 6
✨การจัดหมู่
การจัดหมู่ใช้เมื่อไม่สนใจลำดับในการเลือกสิ่งของจากจำนวนทั้งหมด
C(n, r) = \frac{n!}{r! \, (n – r)!}
ตัวอย่าง การเลือกคน 2 คนจากกลุ่ม 5 คน คือ C(5, 2) = \frac{5}{2 \, (5 – 2)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
✨ทฤษฎีบททวินาม
คือวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นหลาย ๆ ครั้ง จากการทดลองซ้ำ ๆ ที่มีโอกาสเกิดผลลัพธ์สองทางเลือก เช่น การโยนเหรียญซึ่งมี “หัว” และ “ก้อย” หรือการทดสอบว่าประสบความสำเร็จหรือไม่ในแต่ละครั้ง
หลักการพื้นฐาน:
- ทดลองซ้ำ ๆ: มีการทดลองทั้งหมด nnn ครั้ง ซึ่งผลลัพธ์ในแต่ละครั้งมีแค่ 2 แบบ คือ “เกิดเหตุการณ์” หรือ “ไม่เกิดเหตุการณ์”
- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์: ในแต่ละครั้งของการทดลอง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นคือ ppp และความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดคือ 1−p1-p1−p
- ความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิด: เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น kkk ครั้งจากทั้งหมด nnn ครั้ง
สูตรแบบง่ายของการแจกแจงทวินาม:
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}
✨ตัวอย่างประกอบ
สมมุติว่าเรากำลังโยนเหรียญที่สมดุล (ความน่าจะเป็นออกหัว p=0.5) จำนวน 3 ครั้ง และเราต้องการหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัว 2 ครั้ง
- เรารู้ว่ามีการโยนเหรียญ 3 ครั้ง n=3
- เราต้องการให้เหรียญออกหัว 2 ครั้ง k=2
- ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวในการโยนแต่ละครั้งคือ p=0.5
ข้อสอบที่ออกบ่อยในบทเรียนความน่าจะเป็น
- ✅ การหาความน่าจะเป็นจากเหตุการณ์พื้นฐาน
- ✅ การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไข
- ✅ การประยุกต์ใช้กฎการบวกและกฎการคูณ
✨ตัวอย่างโจทย์สำหรับความน่าจะเป็น พร้อมเฉลย
ตัวอย่างที่ 1
มีถุงใบหนึ่งบรรจุลูกเต๋าสองลูก ลูกหนึ่งเป็นลูกเต๋าธรรมดา (มีหน้า 1-6) และอีกลูกเป็นลูกเต๋าพิเศษที่มีเลข 1 ถึง 4 เท่านั้น ถ้าเลือกหยิบลูกเต๋ามาทอย 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่แต้มที่ออกจะเป็นเลข 3
จากโจทย์สามารถแบ่งเป็น 2 กรณี:
- กรณีที่ 1: ถ้าเลือกได้ลูกเต๋าธรรมดา ความน่าจะเป็นที่ออกเลข 3 คือ 16
- กรณีที่ 2: ถ้าเลือกได้ลูกเต๋าพิเศษ ความน่าจะเป็นที่ออกเลข 3 คือ 14
โดยความน่าจะเป็นที่หยิบลูกเต๋าธรรมดาหรือพิเศษมีค่าเท่ากัน คือ 12
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ออกเลข 3 คำนวณได้จาก:
P(แต้ม 3)=(12 × 16)+( 12 × 14 )= 112 + 118
ทำการหาค่า 112 + 118 โดยหาค่าน้อยสุดร่วมของ 12 และ 8 คือ 24:
112 + 224, 18 + 324
ดังนั้น: ความน่าจะเป็นที่ออกเลข 3 คือ P(A) = 224 + 324 = 524
ตัวอย่างที่ 2
หยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน จากถุงหนึ่งใบที่มีลูกบอลสีชมพู 2 ลูกและสีฟ้า 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ (ช=ชมพู, ฟ=ฟ้า)
เหตุการณ์ทั้งหมด = 10 เหตุการณ์
- หยิบได้ลูกบอล 2 ลูก “เป็นสีเดียวกัน” P(1) = 410 = 25
- หยิบได้ลูกบอล 2 ลูก “เป็นสีต่างกัน” P(2) = 610 = 35
ดังนั้น: ความน่าจะเป็นที่จะเกิดทั้ง 2 เหตุการณ์ P(A) : P(1) + P(2) = 25 + 35 = 2+35 = 1
ตัวอย่างที่ 3
มีนักเรียน 5 คน ประกอบด้วย: ก, ข, ค, ง, จ ถ้าต้องการเลือกนักเรียน 2 คนจากกลุ่มนี้ไปทำงานกลุ่ม โดยการเลือกแบบสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียน ก จะถูกเลือก
วิธีทำ:
ขั้นที่ 1 : คำนวณจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกนักเรียน 2 คนจาก 5 คน ซึ่งสามารถใช้สูตรการจัดหมู่
จำนวนวิธีในการเลือก 2 คนจาก 5 คน = (52) = ( 5 X 42X1 ) = 10
ขั้นที่ 2 : หาจำนวนวิธีที่นักเรียน ก ถูกเลือก = เราต้องเลือกอีก 1 คนจากนักเรียนที่เหลืออีก 4 คน:
จำนวนวิธีที่เลือกนักเรียน ก = 41= 1
ดังนั้น: ความน่าจะเป็นที่นักเรียน ก จะถูกเลือกคือ P(A) = จำนวนวิธีที่เลือกนักเรียน กจำนวนวิธีทั้งหมด= 410 = 25
เป็นยังไงบ้างครับสำหรับเนื้อหาเรื่องความน่าจะเป็น ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะรู้สึกว่ามีเนื้อหาใหม่ ๆ ที่เราไม่เคยเจอมาก่อนอยู่หลายอย่าง แต่ถ้าน้อง ๆ หมั่นทบทวนและขยันทำโจทย์ เนื้อหาเหล่านี้ก็จะไม่ยากอีกต่อไป และช่วยให้เราเข้าใจ ความน่าจะเป็น มากขึ้นอย่างแน่นอน ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ
บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand
