สรุปเนื้อหา คณิต แคลคูลัส ม.6 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

แคลคูลัส

เมื่อพูดถึงแคลคูลัสน้อง ๆ หลายคนอาจจะกลัวบทนี้เพราะคิดว่าเป็นบทที่เข้าใจได้ยาก แต่จริง ๆ แล้วถ้าเราเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของแต่ละสิ่งในแคลคูลัส เนื้อหาโดยรวมจะไม่ได้ยากอย่างที่น้อง ๆ คิดครับ อีกทั้งยังเป็นบทที่เราจะได้เรียนต่อในระดับมหาวิทยาลัยด้วย

สำหรับวันนี้พี่ได้เตรียมสรุปเนื้อหาแคลคูลัสมาให้น้อง ๆ ได้ลองอ่านกันครับ โดยจะประกอบด้วยเนื้อหาใหญ่ ๆ 3 ส่วนด้วยกันครับ ได้แก่ ลิมิตและความต่อเนื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ถ้าน้อง ๆ พร้อมกันแล้ว ไปดูเนื้อหากันเลยย

ลิมิตและความต่อเนื่อง

ลิมิตของฟังก์ชัน

พิจารณากราฟของ f(x)=2x+6f(x) = 2x+6

จากกราฟ เราจะพบว่า

  • ▪️ เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 ทางซ้าย จะเห็นว่าค่า yy มีค่าเข้าใกล้ 1414 จะได้ว่า 1414 คือค่าลิมิตของ f(x)f(x) เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 ทางซ้ายเขียนแทนด้วย limx4f(x)=14\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = 14
  • ▪️ เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 ทางขวา จะเห็นว่าค่า yy มีค่าเข้าใกล้ 1414 จะได้ว่า 1414 คือค่าลิมิตของ f(x)f(x) เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 ทางขวาเขียนแทนด้วย limx4+f(x)=14\displaystyle \lim_{x \to 4^+} f(x) = 14
  • ▪️ เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 ทั้งทางซ้ายและทางขวา จะเห็นว่าค่า yy มีค่าเข้าใกล้ 1414 เพียงค่าเดียว จะได้ว่า 1414 คือค่าลิมิตของ f(x)f(x) เมื่อ xx มีค่าเข้าใกล้ 44 เขียนแทนด้วย limx4f(x)=14\displaystyle \lim_{x \to 4} f(x) = 14

โดยการพิจารณาเช่นนี้ เราจึงมีบทนิยามสำหรับลิมิตฟังก์ชันดังนี้ครับ

ทฤษฎีบทลิมิตเมื่อ xx เข้าใกล้ aa

ให้ limxaf(x)=L,limxag(x)=M\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L, \lim_{x \to a} g(x) = M เมื่อ L,ML, M เป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า

  1. limxak=k\displaystyle \lim_{x \to a} k = k เมื่อ kk เป็นค่าคงที่
  2. limxax=a\displaystyle \lim_{x \to a} x = a
  3. ให้ m,nm, n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว limxaxmn=amn\displaystyle \lim_{x \to a} x^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} เมื่อ amna^{\frac{m}{n}} เป็นจำนวนจริง
  4. limxakf(x)=klimxaf(x)=kL\displaystyle \lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x) = kL เมื่อ kk เป็นค่าคงที่
  5. limxa(f(x)±g(x))=limxaf(x)±limx toag(x)=L±M\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \ to a}g(x) = L \pm M
  6. limxa(f(x)g(x))=limxaf(x)limx toag(x)=LM\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \ to a}g(x) = L \cdot M
  7. limxa(f(x)g(x))=limxaf(x)limxag(x)=LM\lim_{x \to a}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \dfrac{L}{M} เมื่อ M0M \neq 0
  8. limxaf(x)=limxaf(x)=L\lim_{x \to a} |f(x)| = \left|\lim_{x \to a}f(x)\right| = |L|
  9. limxa(f(x))n=(limxaf(x))n=Ln\lim_{x \to a}(f(x))^n = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)^n = L^n เมื่อ nn เป็นจำนวนเต็มบวก
  10. limxaf(x)n=limxaf(x)n=Ln\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} = \sqrt[n]{L} เมื่อ nn เป็นจำนวนเต็มบวก และ Ln\sqrt[n]{L} เป็นจำนวนจริง

หลักการหา limxaf(x)g(x)\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}

เริ่มแรกให้เราแทน x=ax = a ลงใน f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)} ก่อนครับว่าได้ค่าออกมาเป็นยังไง

  • ▪️ ถ้าเป็นตัวเลขก็ตอบค่านั้นได้เลย
  • ▪️ ถ้าเป็น 00\dfrac{0}{0} ต้องจัดรูปต่อโดยการแยกตัวประกอบหรือใช้คอนจูเกต
  • ▪️ ถ้าตัวส่วนเป็น 00 จะได้ว่าไม่มีลิมิต

ตัวอย่างที่ 1 จงหา limx2x24x2\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 – 4}{x-2}

วิธีทำ

จากโจทย์ถ้าแราแทนค่า x=2x = 2 ลงไปเลย จะพบว่าค่าที่ได้จะเป็น 00\dfrac{0}{0} ดังนั้นเราจึงทำต่อโดยการแยกตัวประกอบได้เป็น limx2(x2)(x+2)x2\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} แล้วจะสามารถตัดทอนได้เป็น limx2x+2\displaystyle \lim_{x \to 2} x+2 เมื่อแทนค่าอีกครั้ง จะได้ค่าของลิมิตเท่ากับ 2+2=42+2 = 4 นั่นเอง

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

มีหลักการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน ff ต่อเนื่องที่ x=ax = a ดังนี้

  1. f(a)f(a) หาค่าได้
  2. limxaf(x)\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) หาค่าได้ (limxaf(x)=limxa+f(x))\displaystyle \left(\lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x)\right)
  3. f(a)=limxaf(x)\displaystyle f(a) = \lim_{x \to a}f(x)

ถ้าขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งไป เราจะถือว่า ff ไม่ต่อเนื่องที่ x=ax = a ครับ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x)={x2,x0x,x<0\displaystyle f(x) = \begin{cases}x^2 &, x \geqslant 0 \\x &, x < 0\end{cases}

จงพิจารณาว่า ff เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=0x = 0 หรือไม่

วิธีทำ

เราจะทำการตรวบสอบสมบัติแต่ละข้อตามหลักการตรวจสอบก่อนหน้า ดังนี้ครับ

  1. f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0 นั่นคือ f(0)f(0) หาค่าได้
  2. limx0f(x)=0\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x) = 0, limx0+f(x)=02=0\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x) = 0^2 = 0 นั่นคือ limxaf(x)\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) หาค่าได้
  3. พบว่า f(0)=limx0f(x)\displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0}f(x)

เราจึงสามารถสรุปได้ว่า ff เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=0x = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ yy เทียบกับ xx จาก xx ถึง x+hx+h

คือ ΔyΔx=f(x+h)f(x)x+hx=f(x+h)f(x)h\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+h) – f(x)}{x+h-x} = \dfrac{f(x+h) – f(x)}{h}

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ yy เทียบกับ xx ขณะ xx มีค่าใด ๆ

คือ limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) – f(x)}{h} (ช่วงที่ xx เปลี่ยนแปลงน้อยมาก ๆ)

เราจะเรียก limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) – f(x)}{h} ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ff และจะใช้สัญลักษณ์ f(x),y,dydx,dfdxf’(x), y’, \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{df}{dx} แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f[/katex</span></p><p><b>การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร</b></p><p><spanstyle="fontweight:400;">ให้kf[/katex</span></p><p><b>การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร</b></p><p><span style="font-weight: 400;">ให้ k เป็นค่าคงตัว เราจะได้ว่า

  1. ddxk=0\dfrac{d}{dx}k = 0
  2. ddxkxn=kddxxn\dfrac{d}{dx}kx^n = k\dfrac{d}{dx}x^n
  3. ddxxn=nxn1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
  4. ddx(u±v)=u±v\dfrac{d}{dx}(u \pm v) = u’ \pm v’
  5. ddx(uv)=uv+vu\dfrac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’
  6. ddx(uv)=vuuvv2\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{vu’ - uv’}{v^2}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนุพันธ์ของ f(x)=(x23)(3x+4)f(x) = (x^2-3)(3x+4)

วิธีทำ

f(x)=(x23)(3x+4)f(x)=(x23)ddx(3x+4)+(3x+4)ddx(x23)f(x)=(x23)(3)+(3x+4)(2x)f(x)=3x29+6x2+4xf(x)=9x2+4x9\begin{aligned}f(x) &= (x^2-3)(3x+4) \\f’(x) &= (x^2-3)\dfrac{d}{dx}(3x+4) + (3x+4)\dfrac{d}{dx}(x^2-3) \\f’(x) &= (x^2-3)(3) + (3x+4)(2x) \\f’(x) &= 3x^2-9+6x^2+4x \\f’(x) &= 9x^2+4x-9\end{aligned}

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ถ้า f,gf, g เป็นฟังก์ชัน เราจะได้ว่า (gf)(x)=g(f(x))f(x)(g \circ f)’(x) = g’(f(x)) \cdot f’(x)

ตัวอย่างที่ 4 จงหาอนุพันธ์ของ f(x)=(3x+2)3f(x) = (3x+2)^3

วิธีทำ

f(x)=(3x+2)3f(x)=3(3x+2)2ddx(3x+2)f(x)=3(3x+2)2(3)f(x)=9(3x+2)2\begin{aligned}f(x) &= (3x+2)^3 \\f’(x) &= 3(3x+2)^2 \dfrac{d}{dx}(3x+2) \\f’(x) &= 3(3x+2)^2 (3) \\f’(x) &= 9(3x+2)^2 \\\end{aligned}

อนุพันธ์อันดับสูง

คือการหาอนุพันธ์มากกว่าหนึ่งครั้ง

f(x)f’(x) คืออนุพันธ์ของ ff

f’’(x)f’’(x) คืออนุพันธ์ของ f(x)f’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสองของ ff

f’’’(x)f’’’(x) คืออนุพันธ์ของ f’’(x)f’’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสามของ ff

f(4)(x)f^{(4)}(x) คืออนุพันธ์ของ f’’’(x)f’’’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสี่ของ ff

ตัวอย่างที่ 5 จงหาอนุพันธ์อันดับสามของ f(x)=(x23)(3x+4)f(x) = (x^2-3)(3x+4)

วิธีทำ

f(x)=(x23)(3x+4)f(x)=(x23)ddx(3x+4)+(3x+4)ddx(x23)f(x)=(x23)(3)+(3x+4)(2x)f(x)=3x29+6x2+4xf(x)=9x2+4x9f’’(x)=18x+4f’’’(x)=18\begin{aligned}f(x) &= (x^2-3)(3x+4) \\f’(x) &= (x^2-3)\dfrac{d}{dx}(3x+4) + (3x+4)\dfrac{d}{dx}(x^2-3) \\f’(x) &= (x^2-3)(3) + (3x+4)(2x) \\f’(x) &= 3x^2-9+6x^2+4x \\f’(x) &= 9x^2+4x-9 \\f’’(x) &= 18x + 4 \\f’’’(x) &= 18\end{aligned}

ปฏิยานุพันธ์

ความหมายของปฏิยานุพันธ์

ฟังก์ชัน F(x)F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f(x)f(x) ก็ต่อเมื่อ F(x)=f(x)F’(x) = f(x)

เช่น x2x^2 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 2x2x เพราะ ddx(x2)=2x\dfrac{d}{dx}(x^2) = 2x

x2+4x^2 + 4 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 2x2x เพราะ ddx(x2+4)=2x\dfrac{d}{dx}(x^2+4) = 2x

f(x)f(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f(x)f’(x) เพราะ ddxf(x)=f(x)\dfrac{d}{dx}f(x) = f’(x)

เราจะเรียกปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ ff ว่า อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ ff และจะแทนปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ ff ด้วยสัญลักษณ์ f(x)dx\displaystyle \in f(x) \, dx หรือ F(x)=f(x)dx\displaystyle F(x) =\int f(x) \, dx

สูตรการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ ff

ให้ kk และ cc เป็นค่าคงตัว

  1. kdx=kx+c\displaystyle \int k \, dx = kx + c
  2. xndx=xn+1n+1+c,n1\displaystyle \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1
  3. kf(x)dx=kf(x)dx\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx
  4. f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx\displaystyle \int f(x) \pm g(x) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx
  5. f(x)dx=f(x)+c\displaystyle \int f’(x) \, dx = f(x) + c

ตัวอย่างที่ 6 จงหา (4x3+2x+1)dx\displaystyle \int (4x^3 + 2x+1) \, dx

วิธีทำ

(4x3+2x+1)dx=4x44+2x22+x+c(4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c\begin{aligned}\int (4x^3 + 2x+1) \, dx &= \dfrac{4x^4}{4} + \dfrac{2x^2}{2} + x + c \\\int (4x^3 + 2x+1) \, dx &= x^4 + x^2 + x + c \\\end{aligned}

นั่นคือ (4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c\displaystyle \int (4x^3 + 2x+1) \, dx = x^4 + x^2 + x + c

การหาอินทิกรัลจำกัดเขต

ถ้า F(x)F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) จะได้ว่า abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)

ตัวอย่างที่ 7 จงหา 01(4x3+2x+1)dx\displaystyle \int_0^1 (4x^3 + 2x+1) \, dx

วิธีทำ

ขั้นแรกเราจะหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน

(4x3+2x+1)dx=4x44+2x22+x+c(4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c\begin{aligned}\int (4x^3 + 2x+1) \, dx &= \dfrac{4x^4}{4} + \dfrac{2x^2}{2} + x + c \\\int (4x^3 + 2x+1) \, dx &= x^4 + x^2 + x + c \\\end{aligned}

ต่อไปเราจะนำค่าขอบเขตไปแทน ดังนี้

(4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c01(4x3+2x+1)dx=(14+12+1+c)(04+02+0+c)=(1+1+1+c)(0+0+0+c)=3+c0c=3\begin{aligned}\int (4x^3 + 2x+1) \, dx &= x^4 + x^2 + x + c \\\int_0^1 (4x^3 + 2x+1) \, dx &= (1^4 + 1^2 + 1 + c) – (0^4 + 0^2 + 0 + c) \\&= (1+1+1+c) – (0+0+0+c) \\&= 3+c-0-c \\&= 3\end{aligned}

นั่นคือ 01(4x3+2x+1)dx=3\displaystyle \int_0^1 (4x^3 + 2x+1) \, dx = 3

การประยุกต์ของอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์

การประยุกต์ของอนุพันธ์ – ความชันเส้นสัมผัส (ความชันเส้นโค้ง)

y=f(x)y = f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง ดังรูป

เราจะได้ว่าความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x,y)(x, y) ใด ๆ มีค่าเท่ากับ limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) – f(x)}{h} หรือก็คือ ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งจะหาได้จาก f(x)f’(x) นั่นเอง

การประยุกต์ของอนุพันธ์ – ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

พิจารณาช่วงที่ ff เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

จะเห็นว่าช่วงที่ ff เป็นฟังก์ชันเพิ่มคือช่วงที่ ff มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นบวก

พิจารณาช่วงที่ ff เป็นฟังก์ชันลด



จะเห็นว่าช่วงที่ ff เป็นฟังก์ชันลดคือช่วงที่ ff มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นบลบ

การประยุกต์ของอนุพันธ์ – จุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์

พิจารณากราฟ

จากรูป เราจะเรียกจุด PP ว่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์

และเรียกจุด QQ ว่าจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

หรือจะพูดให้เข้าใจง่าย ๆ ก็คือ จุดสูงสุดสัมพัทธ์ก็คือจุดที่อยู่สูงที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นใกล้ ๆ กับตัวมันเอง และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ก็คือจุดที่อยู่ต่ำที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นใกล้ ๆ กับตัวมันเองนั่นเองครับ

 

หลักการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์

  1. หาค่า xx ที่ทำให้ f(x)=0f’(x) = 0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า xx ที่ได้มานั้นว่า ค่าวิกฤต
  2. ทดสอบว่าค่าวิกฤตที่ได้นั้น (สมมุติว่าเป็น cc) ให้จุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

2.1 ถ้าความชันเส้นสัมผัสเปลี่ยนจาก ++ ไป จะได้ว่าที่ x=cx = c จะให้จุดสูงสุดสัมพัทธ์

2.2 ถ้าความชันเส้นสัมผัสเปลี่ยนจาก ไป ++ จะได้ว่าที่ x=cx = c จะให้จุดต่ำสุดสัมพัทธ์

2.3 แต่ถ้าความชันเส้นสัมผัสไม่เปลี่ยน จะได้ว่าที่ x=cx = c จะให้จุดเปลี่ยนเว้า

การประยุกต์ของอนุพันธ์ – จุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์

พิจารณากราฟในช่วง a,ba, b

จากรูป เราจะเรียกจุด EE ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์

และเรียกจุด DD ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์

หรือจะพูดให้เข้าใจง่าย ๆ ก็คือ จุดสูงสุดสัมบูรณ์ก็คือจุดที่อยู่สูงที่สุดของกราฟในช่วงที่เรากำลังพิจารณา และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ก็คือจุดที่อยู่ต่ำที่สุดของกราฟในช่วงที่เรากำลังพิจารณานั่นเองครับ

หลักการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วง [a,b][a, b]

  1. หาค่า xx ที่ทำให้ f(x)=0f’(x) = 0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า xx ที่ได้มานั้นว่า ค่าวิกฤต
  2. พิจารณาค่าวิกฤตในช่วง [a,b][a, b]
  3. เปรียบเทียบค่า yy ของค่าวิกฤตกับจุดปลายช่วง

สมมุติได้ค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง [a,b][a, b] คือ x=c,dx = c, d

เปรียบเทียบ f(a),f(b),f(c),f(d)f(a), f(b), f(c), f(d)

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือค่า yy ของจุดสูงสุดสัมบูรณ์

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือค่า yy ของจุดต่ำสุดสัมบูรณ์

การประยุกต์ของปฏิยานุพันธ์ – พื้นที่ใต้เส้นโค้ง

ทฤษฎีบท กำหนดให้ฟังก์ชัน ff ต่อเนื่องบน [a,b][a, b] และ AA เป็นพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ ff จาก x=ax = a ถึง x=bx = b จะได้ว่า

  • ▪️ ถ้า f(x)0f(x) \geqslant 0 สำหรับทุก xx ในช่วง [a,b][a, b] แล้ว A=abf(x)dx\displaystyle A = \int_a^b f(x) \, dx
  • ▪️ ถ้า f(x)0f(x) \leqslant 0 สำหรับทุก xx ในช่วง [a,b][a, b] แล้ว A=abf(x)dx\displaystyle A = -\int_a^b f(x) \, dx

หลักการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งกับแกน XX ในช่วง [a,b][a, b]

  1. วาดกราฟคร่าว ๆ
  2. หาค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตในแต่ละช่วงของ xx
  3. พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตทั้งหมดที่หาได้

เป็นยังไงกันบ้างครับ สำหรับเนื้อหาเรื่องแคลคูลัสที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะอ่านแล้วยังไม่เข้าใจในทันที แต่เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้ 

บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ