เมื่อพูดถึงแคลคูลัสน้อง ๆ หลายคนอาจจะกลัวบทนี้เพราะคิดว่าเป็นบทที่เข้าใจได้ยาก แต่จริง ๆ แล้วถ้าเราเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของแต่ละสิ่งในแคลคูลัส เนื้อหาโดยรวมจะไม่ได้ยากอย่างที่น้อง ๆ คิดครับ อีกทั้งยังเป็นบทที่เราจะได้เรียนต่อในระดับมหาวิทยาลัยด้วย
สำหรับวันนี้พี่ได้เตรียมสรุปเนื้อหาแคลคูลัสมาให้น้อง ๆ ได้ลองอ่านกันครับ โดยจะประกอบด้วยเนื้อหาใหญ่ ๆ 3 ส่วนด้วยกันครับ ได้แก่ ลิมิตและความต่อเนื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ถ้าน้อง ๆ พร้อมกันแล้ว ไปดูเนื้อหากันเลยย
ลิมิตและความต่อเนื่อง
ลิมิตของฟังก์ชัน
พิจารณากราฟของ f(x)=2x+6
จากกราฟ เราจะพบว่า
- ▪️ เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางซ้าย จะเห็นว่าค่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 จะได้ว่า 14 คือค่าลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางซ้ายเขียนแทนด้วย x→4−limf(x)=14
- ▪️ เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางขวา จะเห็นว่าค่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 จะได้ว่า 14 คือค่าลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางขวาเขียนแทนด้วย x→4+limf(x)=14
- ▪️ เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทั้งทางซ้ายและทางขวา จะเห็นว่าค่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 เพียงค่าเดียว จะได้ว่า 14 คือค่าลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 เขียนแทนด้วย x→4limf(x)=14
โดยการพิจารณาเช่นนี้ เราจึงมีบทนิยามสำหรับลิมิตฟังก์ชันดังนี้ครับ
ทฤษฎีบทลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a
ให้ x→alimf(x)=L,x→alimg(x)=M เมื่อ L,M เป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า
- x→alimk=k เมื่อ k เป็นค่าคงที่
- x→alimx=a
- ให้ m,n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว x→alimxnm=anm เมื่อ anm เป็นจำนวนจริง
- x→alimkf(x)=kx→alimf(x)=kL เมื่อ k เป็นค่าคงที่
- x→alim(f(x)±g(x))=x→alimf(x)±x toalimg(x)=L±M
- x→alim(f(x)⋅g(x))=x→alimf(x)⋅x toalimg(x)=L⋅M
- limx→a(g(x)f(x))=limx→ag(x)limx→af(x)=ML เมื่อ M=0
- limx→a∣f(x)∣=∣limx→af(x)∣=∣L∣
- limx→a(f(x))n=(limx→af(x))n=Ln เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
- x→alimnf(x)=nx→alimf(x)=nL เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ nL เป็นจำนวนจริง
หลักการหา x→alimg(x)f(x)
เริ่มแรกให้เราแทน x=a ลงใน g(x)f(x) ก่อนครับว่าได้ค่าออกมาเป็นยังไง
- ▪️ ถ้าเป็นตัวเลขก็ตอบค่านั้นได้เลย
- ▪️ ถ้าเป็น 00 ต้องจัดรูปต่อโดยการแยกตัวประกอบหรือใช้คอนจูเกต
- ▪️ ถ้าตัวส่วนเป็น 0 จะได้ว่าไม่มีลิมิต
ตัวอย่างที่ 1 จงหา x→2limx−2x2–4
วิธีทำ
จากโจทย์ถ้าแราแทนค่า x=2 ลงไปเลย จะพบว่าค่าที่ได้จะเป็น 00 ดังนั้นเราจึงทำต่อโดยการแยกตัวประกอบได้เป็น x→2limx−2(x−2)(x+2) แล้วจะสามารถตัดทอนได้เป็น x→2limx+2 เมื่อแทนค่าอีกครั้ง จะได้ค่าของลิมิตเท่ากับ 2+2=4 นั่นเอง
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
มีหลักการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x=a ดังนี้
- f(a) หาค่าได้
- x→alimf(x) หาค่าได้ (x→a−limf(x)=x→a+limf(x))
- f(a)=x→alimf(x)
ถ้าขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งไป เราจะถือว่า f ไม่ต่อเนื่องที่ x=a ครับ
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x)={x2x,x⩾0,x<0
จงพิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=0 หรือไม่
วิธีทำ
เราจะทำการตรวบสอบสมบัติแต่ละข้อตามหลักการตรวจสอบก่อนหน้า ดังนี้ครับ
- f(0)=02=0 นั่นคือ f(0) หาค่าได้
- x→0−limf(x)=0, x→0+limf(x)=02=0 นั่นคือ x→alimf(x) หาค่าได้
- พบว่า f(0)=x→0limf(x)
เราจึงสามารถสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=0
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x จาก x ถึง x+h
คือ ΔxΔy=x+h−xf(x+h)–f(x)=hf(x+h)–f(x)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ
คือ h→0limhf(x+h)–f(x) (ช่วงที่ x เปลี่ยนแปลงน้อยมาก ๆ)
เราจะเรียก h→0limhf(x+h)–f(x) ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f และจะใช้สัญลักษณ์ f’(x),y’,dxdy,dxdf แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f[/katex</span></p><p><b>การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร</b></p><p><spanstyle="font−weight:400;">ให้k เป็นค่าคงตัว เราจะได้ว่า
- dxdk=0
- dxdkxn=kdxdxn
- dxdxn=nxn−1
- dxd(u±v)=u’±v’
- dxd(uv)=uv’+vu’
- dxd(vu)=v2vu’−uv’
ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนุพันธ์ของ f(x)=(x2−3)(3x+4)
วิธีทำ
f(x)f’(x)f’(x)f’(x)f’(x)=(x2−3)(3x+4)=(x2−3)dxd(3x+4)+(3x+4)dxd(x2−3)=(x2−3)(3)+(3x+4)(2x)=3x2−9+6x2+4x=9x2+4x−9
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
ถ้า f,g เป็นฟังก์ชัน เราจะได้ว่า (g∘f)’(x)=g’(f(x))⋅f’(x)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาอนุพันธ์ของ f(x)=(3x+2)3
วิธีทำ
f(x)f’(x)f’(x)f’(x)=(3x+2)3=3(3x+2)2dxd(3x+2)=3(3x+2)2(3)=9(3x+2)2
อนุพันธ์อันดับสูง
คือการหาอนุพันธ์มากกว่าหนึ่งครั้ง
f’(x) คืออนุพันธ์ของ f
f’’(x) คืออนุพันธ์ของ f’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสองของ f
f’’’(x) คืออนุพันธ์ของ f’’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสามของ f
f(4)(x) คืออนุพันธ์ของ f’’’(x) หรืออนุพันธ์อันดับสี่ของ f
ตัวอย่างที่ 5 จงหาอนุพันธ์อันดับสามของ f(x)=(x2−3)(3x+4)
วิธีทำ
f(x)f’(x)f’(x)f’(x)f’(x)f’’(x)f’’’(x)=(x2−3)(3x+4)=(x2−3)dxd(3x+4)+(3x+4)dxd(x2−3)=(x2−3)(3)+(3x+4)(2x)=3x2−9+6x2+4x=9x2+4x−9=18x+4=18
ปฏิยานุพันธ์
ความหมายของปฏิยานุพันธ์
ฟังก์ชัน F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f(x) ก็ต่อเมื่อ F’(x)=f(x)
เช่น x2 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 2x เพราะ dxd(x2)=2x
x2+4 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 2x เพราะ dxd(x2+4)=2x
f(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f’(x) เพราะ dxdf(x)=f’(x)
เราจะเรียกปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ f ว่า อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ f และจะแทนปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ f ด้วยสัญลักษณ์ ∈f(x)dx หรือ F(x)=∫f(x)dx
สูตรการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ f
ให้ k และ c เป็นค่าคงตัว
- ∫kdx=kx+c
- ∫xndx=n+1xn+1+c,n=−1
- ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
- ∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
- ∫f’(x)dx=f(x)+c
ตัวอย่างที่ 6 จงหา ∫(4x3+2x+1)dx
วิธีทำ
∫(4x3+2x+1)dx∫(4x3+2x+1)dx=44x4+22x2+x+c=x4+x2+x+c
นั่นคือ ∫(4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c
การหาอินทิกรัลจำกัดเขต
ถ้า F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) จะได้ว่า ∫abf(x)dx=F(b)–F(a)
ตัวอย่างที่ 7 จงหา ∫01(4x3+2x+1)dx
วิธีทำ
ขั้นแรกเราจะหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน
∫(4x3+2x+1)dx∫(4x3+2x+1)dx=44x4+22x2+x+c=x4+x2+x+c
ต่อไปเราจะนำค่าขอบเขตไปแทน ดังนี้
∫(4x3+2x+1)dx∫01(4x3+2x+1)dx=x4+x2+x+c=(14+12+1+c)–(04+02+0+c)=(1+1+1+c)–(0+0+0+c)=3+c−0−c=3
นั่นคือ ∫01(4x3+2x+1)dx=3
การประยุกต์ของอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์
การประยุกต์ของอนุพันธ์ – ความชันเส้นสัมผัส (ความชันเส้นโค้ง)
y=f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง ดังรูป
เราจะได้ว่าความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใด ๆ มีค่าเท่ากับ h→0limhf(x+h)–f(x) หรือก็คือ ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งจะหาได้จาก f’(x) นั่นเอง
การประยุกต์ของอนุพันธ์ – ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
พิจารณาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
จะเห็นว่าช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มคือช่วงที่ f มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นบวก
พิจารณาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลด
จะเห็นว่าช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลดคือช่วงที่ f มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นบลบ
การประยุกต์ของอนุพันธ์ – จุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
พิจารณากราฟ
จากรูป เราจะเรียกจุด P ว่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์
และเรียกจุด Q ว่าจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
หรือจะพูดให้เข้าใจง่าย ๆ ก็คือ จุดสูงสุดสัมพัทธ์ก็คือจุดที่อยู่สูงที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นใกล้ ๆ กับตัวมันเอง และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ก็คือจุดที่อยู่ต่ำที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นใกล้ ๆ กับตัวมันเองนั่นเองครับ
หลักการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
- หาค่า x ที่ทำให้ f’(x)=0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า x ที่ได้มานั้นว่า ค่าวิกฤต
- ทดสอบว่าค่าวิกฤตที่ได้นั้น (สมมุติว่าเป็น c) ให้จุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
2.1 ถ้าความชันเส้นสัมผัสเปลี่ยนจาก + ไป – จะได้ว่าที่ x=c จะให้จุดสูงสุดสัมพัทธ์
2.2 ถ้าความชันเส้นสัมผัสเปลี่ยนจาก – ไป + จะได้ว่าที่ x=c จะให้จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
2.3 แต่ถ้าความชันเส้นสัมผัสไม่เปลี่ยน จะได้ว่าที่ x=c จะให้จุดเปลี่ยนเว้า
การประยุกต์ของอนุพันธ์ – จุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์
พิจารณากราฟในช่วง a,b
จากรูป เราจะเรียกจุด E ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์
และเรียกจุด D ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
หรือจะพูดให้เข้าใจง่าย ๆ ก็คือ จุดสูงสุดสัมบูรณ์ก็คือจุดที่อยู่สูงที่สุดของกราฟในช่วงที่เรากำลังพิจารณา และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ก็คือจุดที่อยู่ต่ำที่สุดของกราฟในช่วงที่เรากำลังพิจารณานั่นเองครับ
หลักการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วง [a,b]
- หาค่า x ที่ทำให้ f’(x)=0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า x ที่ได้มานั้นว่า ค่าวิกฤต
- พิจารณาค่าวิกฤตในช่วง [a,b]
- เปรียบเทียบค่า y ของค่าวิกฤตกับจุดปลายช่วง
สมมุติได้ค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง [a,b] คือ x=c,d
เปรียบเทียบ f(a),f(b),f(c),f(d)
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือค่า y ของจุดสูงสุดสัมบูรณ์
ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือค่า y ของจุดต่ำสุดสัมบูรณ์
การประยุกต์ของปฏิยานุพันธ์ – พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ทฤษฎีบท กำหนดให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบน [a,b] และ A เป็นพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก x=a ถึง x=b จะได้ว่า
- ▪️ ถ้า f(x)⩾0 สำหรับทุก x ในช่วง [a,b] แล้ว A=∫abf(x)dx
- ▪️ ถ้า f(x)⩽0 สำหรับทุก x ในช่วง [a,b] แล้ว A=−∫abf(x)dx
หลักการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งกับแกน X ในช่วง [a,b]
- วาดกราฟคร่าว ๆ
- หาค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตในแต่ละช่วงของ x
- พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตทั้งหมดที่หาได้
เป็นยังไงกันบ้างครับ สำหรับเนื้อหาเรื่องแคลคูลัสที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะอ่านแล้วยังไม่เข้าใจในทันที แต่เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้
บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand