สรุปเนื้อหา คณิต แคลคูลัส ม.6 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

ทฤษฎีบทลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a

ให้ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L, \lim_{x \to a} g(x) = M เมื่อ L, M เป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า

1. \displaystyle \lim_{x \to a} k = k เมื่อ k เป็นค่าคงที่
2. \displaystyle \lim_{x \to a} x = a
3. ให้ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว \displaystyle \lim_{x \to a} x^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} เมื่อ a^{\frac{m}{n}} เป็นจำนวนจริง
4. \displaystyle \lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x) = kL เมื่อ k เป็นค่าคงที่
5. \displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \ to a}g(x) = L \pm M
6. \displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \ to a}g(x) = L \cdot M
7. \lim_{x \to a}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \dfrac{L}{M} เมื่อ M \neq 0
8. \lim_{x \to a} |f(x)| = \left|\lim_{x \to a}f(x)\right| = |L|
9. \lim_{x \to a}(f(x))^n = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)^n = L^n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
10. \displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} = \sqrt[n]{L} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ \sqrt[n]{L} เป็นจำนวนจริง

หลักการหา \displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}

เริ่มแรกให้เราแทน x = a ลงใน \dfrac{f(x)}{g(x)} ก่อนครับว่าได้ค่าออกมาเป็นยังไง

• ▪️ ถ้าเป็นตัวเลขก็ตอบค่านั้นได้เลย
• ▪️ ถ้าเป็น \dfrac{0}{0} ต้องจัดรูปต่อโดยการแยกตัวประกอบหรือใช้คอนจูเกต
• ▪️ ถ้าตัวส่วนเป็น 0 จะได้ว่าไม่มีลิมิต

ตัวอย่างที่ 1 จงหา \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 – 4}{x-2}

วิธีทำ

จากโจทย์ถ้าแราแทนค่า x = 2 ลงไปเลย จะพบว่าค่าที่ได้จะเป็น \dfrac{0}{0} ดังนั้นเราจึงทำต่อโดยการแยกตัวประกอบได้เป็น \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} แล้วจะสามารถตัดทอนได้เป็น \displaystyle \lim_{x \to 2} x+2 เมื่อแทนค่าอีกครั้ง จะได้ค่าของลิมิตเท่ากับ 2+2 = 4 นั่นเอง

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

มีหลักการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a ดังนี้

1. f(a) หาค่าได้
2. \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) หาค่าได้ \displaystyle \left(\lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x)\right)
3. \displaystyle f(a) = \lim_{x \to a}f(x)

ถ้าขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งไป เราจะถือว่า f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a ครับ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ \displaystyle f(x) = \begin{cases}x^2 &, x \geqslant 0 \\x &, x < 0\end{cases}

จงพิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่

วิธีทำ

เราจะทำการตรวบสอบสมบัติแต่ละข้อตามหลักการตรวจสอบก่อนหน้า ดังนี้ครับ

1. f(0) = 0^2 = 0 นั่นคือ f(0) หาค่าได้
2. \displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x) = 0, \displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x) = 0^2 = 0 นั่นคือ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) หาค่าได้
3. พบว่า \displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0}f(x)

เราจึงสามารถสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 0