สรุปเนื้อหา คณิต แคลคูลัส ม.6 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

ทฤษฎีบทลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$

ให้ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L, \lim_{x \to a} g(x) = M$ เมื่อ $L, M$ เป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า

1. $\displaystyle \lim_{x \to a} k = k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
2. $\displaystyle \lim_{x \to a} x = a$
3. ให้ $m, n$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $\displaystyle \lim_{x \to a} x^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}}$ เมื่อ $a^{\frac{m}{n}}$ เป็นจำนวนจริง
4. $\displaystyle \lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x) = kL$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
5. $\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \ to a}g(x) = L \pm M$
6. $\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \ to a}g(x) = L \cdot M$
7. $\lim_{x \to a}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \dfrac{L}{M}$ เมื่อ $M \neq 0$
8. $\lim_{x \to a} |f(x)| = \left|\lim_{x \to a}f(x)\right| = |L|$
9. $\lim_{x \to a}(f(x))^n = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)^n = L^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
10. $\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} = \sqrt[n]{L}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $\sqrt[n]{L}$ เป็นจำนวนจริง

หลักการหา $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

เริ่มแรกให้เราแทน $x = a$ ลงใน $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ก่อนครับว่าได้ค่าออกมาเป็นยังไง

• ▪️ ถ้าเป็นตัวเลขก็ตอบค่านั้นได้เลย
• ▪️ ถ้าเป็น $\dfrac{0}{0}$ ต้องจัดรูปต่อโดยการแยกตัวประกอบหรือใช้คอนจูเกต
• ▪️ ถ้าตัวส่วนเป็น $0$ จะได้ว่าไม่มีลิมิต

ตัวอย่างที่ 1 จงหา $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 – 4}{x-2}$

วิธีทำ

จากโจทย์ถ้าแราแทนค่า $x = 2$ ลงไปเลย จะพบว่าค่าที่ได้จะเป็น $\dfrac{0}{0}$ ดังนั้นเราจึงทำต่อโดยการแยกตัวประกอบได้เป็น $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ แล้วจะสามารถตัดทอนได้เป็น $\displaystyle \lim_{x \to 2} x+2$ เมื่อแทนค่าอีกครั้ง จะได้ค่าของลิมิตเท่ากับ $2+2 = 4$ นั่นเอง

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

มีหลักการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องที่ $x = a$ ดังนี้

1. $f(a)$ หาค่าได้
2. $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ หาค่าได้ $\displaystyle \left(\lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x)\right)$
3. $\displaystyle f(a) = \lim_{x \to a}f(x)$

ถ้าขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งไป เราจะถือว่า $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x = a$ ครับ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ $\displaystyle f(x) = \begin{cases}x^2 &, x \geqslant 0 \\x &, x < 0\end{cases}$

จงพิจารณาว่า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x = 0$ หรือไม่

วิธีทำ

เราจะทำการตรวบสอบสมบัติแต่ละข้อตามหลักการตรวจสอบก่อนหน้า ดังนี้ครับ

1. $f(0) = 0^2 = 0$ นั่นคือ $f(0)$ หาค่าได้
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x) = 0$, $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x) = 0^2 = 0$ นั่นคือ $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ หาค่าได้
3. พบว่า $\displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0}f(x)$

เราจึงสามารถสรุปได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x = 0$