สำหรับน้อง ๆ ม.ปลาย ที่กำลังจะเรียนบทลำดับและอนุกรม วันนี้พี่มีสรุปลำดับและอนุกรมแบบเข้าใจง่าย ๆ มาฝากน้อง ๆ ครับ บทนี้ก็เป็นอีกบทที่มีความสำคัญมากเช่นกัน เพราะบางครั้งโจทย์จากบทอื่นก็จะมีการพูดถึงหรือใช้เนื้อหาจากบทนี้ไปแก้ปัญหาโจทย์ข้อนั้น ๆ ก็ได้ครับ เช่นการนับจำนวนของตัวเลขที่หารด้วยจำนวนเต็มบางอย่างลงตัว เป็นต้น ถ้าน้อง ๆ ทุกคนพร้อมแล้ว ไปลุยกันเลย!
✨ลำดับ คือ อะไร
ลำดับโดยนิยามแล้วหมายถึงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
เช่น f(x)=x2 เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มบวก
x=1,f(1)=1 จะเรียก 1 ว่าพจน์ที่ 1 เขียนแทนด้วย a1=1
x=2,f(2)=4 จะเรียก 4 ว่าพจน์ที่ 2 เขียนแทนด้วย a2=4
x=3,f(3)=9 จะเรียก 9 ว่าพจน์ที่ 3 เขียนแทนด้วย a3=9
x=n,f(n)=n2 จะเรียก n2 ว่าพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an=n2
ซึ่งพจน์ที่ n มีอีกชื่อหนึ่งว่า “พจน์ทั่วไป”
✨ชนิดของลำดับ
เราจะแบ่งลำดับออกเป็น 2 ประเภท คือ ลำดับจำกัด และลำดับอนันต์ครับ โดยที่
ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เขียนแทนด้วย a1,a2,a3,…,an
ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย a1,a2,a3,…,an,…
ต่อไปเราจะไปศึกษาลำดับที่มีคุณสมบัติพิเศษบางอย่างกันครับ โดยจะมีสองลำดับที่เราจะสนใจเป็นพิเศษในระดับ ม.ปลาย นั่นคือ ลำดับเลขคณิต และลำดับเรขาคณิตนั่นเองครับ
✨ลำดับเลขคณิต
คือลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ และเราจะเรียกค่าคงที่นั้นว่า “ผลต่างร่วม” และจะใช้ d เพื่อแทนผลต่างร่วมครับ
เช่น 2,4,6,8,10 เป็นลำดับเลขคณิต เพราะว่ามีผลต่างร่วมเท่ากับ 2 นั่นเองครับ (ขวา – ซ้าย มีค่าคงที่)
นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้ด้วยสมการ an=a1+(n−1)d ครับ
✨ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 2,4,6,8,10,…
✨วิธีทำ
ในการหาพจน์ทั่วไป เราต้องแทนค่าลงในสมการพจน์ทั่วไป นั่นคือสมการ an=a1+(n−1)d
จะเห็นว่าเราต้องแทนค่าของ a1 และ d ลงไป ซึ่ง a1 เราทราบค่าแล้วว่ามีค่าเท่ากับ 2 ต่อไปเราจะหา d หรือผลต่างร่วมกันครับ
d=4−2=6−4=8−6=10−8=2 ดังนั้น d=2
ดังนั้นทำการแทนค่าจะได้ว่า an=2+(n−1)2=2+2n–2=2n
นั่นหมายความว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้คือ an=2n นั่นเอง
✨ลำดับเรขาคณิต
คือลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ และเราจะเรียกค่าคงที่นั้นว่า “อัตราส่วนร่วม” และจะใช้ r เพื่อแทนผลต่างร่วม
เช่น 2,4,8,16,32 เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะว่ามีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 นั่นเองครับ (ขวา / ซ้าย มีค่าคงที่)
นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตได้ด้วยสมการ an=a1(r)n−1 ครับ
✨ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2,4,8,16,32,…
✨วิธีทำ
ในการหาพจน์ทั่วไป เราต้องแทนค่าลงในสมการพจน์ทั่วไป นั่นคือสมการ an=a1(r)n−1
จะเห็นว่าเราต้องแทนค่าของ a1 และ r ลงไป ซึ่ง a1 เราทราบค่าแล้วว่ามีค่าเท่ากับ 2 ต่อไปเราจะหา r หรืออัตราส่วนร่วมกันครับ
r=24=48=2 ดังนั้น r=2
ดังนั้นทำการแทนค่าจะได้ว่า an=2(2)n−1=2n
นั่นหมายความว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตนี้คือ an=2n นั่นเอง
✨สรุปลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
✨ลำดับเลขคณิต
ลักษณะพิเศษ : มีผลต่างร่วม d=an+1–an
พจน์ทั่วไป : an=a1+(n−1)d
✨ลำดับเรขาคณิต
ลักษณะพิเศษ : มีอัตราส่วนร่วม r=rnrn+1
พจน์ทั่วไป : an=a1(r)n−1
✨ลิมิตของลำดับอนันต์
ถ้าเราให้ an เป็นลำดับ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว an มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับจำนวนจริง L เพียงค่าเดียว เราจะเรียกค่า L ว่าเป็นลิมิตของลำดับ an และเขียนเป็นสมการได้ว่า n→∞liman=L และเราจะเรียกลำดับอนันต์นี้ว่าเป็นลำดับลู่เข้า แต่ถ้า n→∞liman ไม่มีลิมิต หรือ หาค่าไม่ได้ เราจะเรียกลำดับเหล่านั้นว่าเป็นลำดับลู่ออก
✨ทฤษฎีลิมิตของลำดับอนันต์
กำหนดให้ an,bn เป็นลำดับของจำนวนจริง และ n→∞liman=A,n→∞limbn=B เมื่อ A,B เป็นจำนวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวแล้ว เราจะได้ว่า
- n→∞limc=c
- n→∞limnk1=0 เมื่อ k เป็นจำนวนตรรกยะบวก
- n→∞limcan=cn→∞liman=cA
- n→∞lim(an±bn)=n→∞liman±n→∞limbn=A± B
- n→∞lim(an⋅bn)=n→∞liman⋅n→∞limbn=A⋅ B
- n→∞lim(bnan)=limn→∞bnlimn→∞an=BA เมื่อ B=0
- n→∞limkan=kn→∞liman=kA เมื่อ k คือจำนวนเต็มบวก และ kA เป็นจำนวนจริง
เมื่อทราบถึงความหมายและทฤษฎีของลิมิตของดับอนันต์แล้ว ต่อไปเราจะไปลองทำโจทย์กันดูครับ
✨ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ an=n7n+2 จงหาค่าของ n→∞liman
✨วิธีทำ
n→∞liman=n→∞lim(n7n+2)=n→∞lim(n7n+n2)=n→∞lim(7+n2)=n→∞lim7+n→∞limn2=7+0=7
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า n→∞liman=7
✨อนุกรมจำกัด
ถ้า a1,a2,a3,…,an เป็นลำดับจำกดที่มี n พจน์ เราจะเรียก a1+a2+a3+⋯+an ว่าอนุกรม และแทน Sn=a1+a2+a3+⋯+an ว่าเป็นผลบวกของอนุกรม
✨อนุกรมเลขคณิต
คือผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต ซึ่งจะหาได้จาก Sn=2n(a1+an) หรือ Sn=2n(2a1+(n−1)d)
✨ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 1+6+11+16+⋯+101
✨วิธีทำ
เนื่องจากอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี d=5,a1=1,an=101
เราจะหา n ดังนี้
an=a1+(n−1)d⟹101=1+(n−1)5⟹n−1=20⟹n=21
ดังนั้น 1+6+11+16+⋯+101=S21
ซึ่ง S21=221(1+101)=221×102=1071
✨อนุกรมเรขาคณิต
คือผลบวก n พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต ซึ่งจะหาได้จาก Sn=1−ra1(1−rn) หรือ Sn=r−1a1(rn−1) เมื่อ r=1
✨ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ 1+2+4+8+⋯+512
✨วิธีทำ
เนื่องจากอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r=2,a1=1,an=512
เราจะหา n ดังนี้
an=a1rn−1⟹512=1(2)n−1⟹29=2n−1⟹n=10
ดังนั้น 1+2+4+8+⋯+512=S10
ซึ่ง S10=2−11(210−1)=210–1=1023
✨อนุกรมอนันต์
สำหรับอนุกรมอนันต์นั้นก็เหมือนกันอนุกรมจำกัดเลยครับ คือเป็นการนำพจน์แต่ละพจน์ของลำดับมาบวกเข้าด้วยกัน แต่คราวนี้จะเป็นการบวกไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด ต่างกับอนุกรมจำกัดที่บวกกันแบบจำกัดพจน์ครับ
โดยอนุกรมอนันต์ที่เราจะศึกษาในระดับ ม.ปลาย นั้นมีเพียงอนุกรมเรขาคณิตอนันต์เท่านั้น การคำนวณจะเป็นยังไง ไปดูกันต่อได้เลยครับ
✨อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
เราจะเขียน S∞ เพื่อแทนอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ โดยที่ S∞=1−ra1 โดยที่ ∣r∣<1 นั่นหมายความว่าสำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ใด ๆ เราจะสามารถหาผลบวกมันได้แค่ตัวที่ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมของมันมีค่าน้อยกว่า 1 เท่านั้น ถ้าเป็นค่าอื่นจะไม่สามารถหาค่าได้ครับ เหตุผลที่เป็นแบบนี้ก็เพราะว่าถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 มันจะทำให้ค่าของแต่ละพจน์เพิ่มชึ้นหรือลดลงไปเรื่อย ๆ แบบไม่มีขอบเขตนั่นเองครับ
✨ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ 1+21+41+…
✨วิธีทำ
เนื่องจากอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่มี r=21,a1=1
ซึ่ง ∣r∣=∣∣21∣∣<1 ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ จะสามารถหาค่าได้ โดยหาได้ดังนี้ครับ
1+21+41+…=1−211=211=2
ดังนั้น 1+21+41+⋯=2
✨อนุกรมรูปแบบพิเศษ
✨อนุกรมผสม
อนุกรมผสมนั้นเป็นอนุกรมที่มีรูปแบบไม่ตายตัว เช่น อนุกรมผสมระหว่างเลขคณิตกับเลขคณิต หรืออนุกรมผสมระหว่างเลขคณิตกับเรขาคณิต เป็นต้น น้อง ๆ สามารถดูวิธีการหาผลบวกได้จากตัวอย่างต่อไปนี้เลยครับ
✨ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ 23+225+237+⋯+21021
✨วิธีทำ
ให้สิ่งที่โจทย์ถามแทนด้วย S
S=23+225+237+⋯+21021
สังเกตว่าตัวส่วนเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิตที่ r=21 ดังนั้นเราจะคูณด้วยค่านั้นทั้งสมการ จะได้
21S=223+235+247+⋯+21121
นำทั้งสองสมการมาลบกัน จะได้
S−21S21S∴S=23+222+232+242+⋯+2102–21121=23+2(221+231+241+⋯+2101)–21121=23+2(1−21221(1−291))−21121=23+2(21221–2111)−21121=23+4(221–2111)–21121=23+1–2114–21121=25–21125=5–21025
เป็นยังไงกันบ้างครับ สำหรับเนื้อหา ลำดับ และ อนุกรม ที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจในครั้งแรกที่อ่าน แต่เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ น้อง ๆ สามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้
ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ
บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand